BAC Spé Maths 2025 — Centres étrangers J1
Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Centres étrangers J1 2025. Il couvre 4 thèmes : Algorithmique et programmation Python, Dérivation et étude de fonctions, Fonction logarithme népérien…. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
Partie A
On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $\left]-1\,;\,+\infty\right[$ par
$$f(x) = 4\ln(x+1) - \frac{x^2}{25}$$
On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $\left]-1\,;\,+\infty\right[$.
Déterminer la limite de la fonction $f$ en $-1$.
Montrer que, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $\left]-1\,;\,+\infty\right[$, on a :
$$f'(x) = \frac{100 - 2x - 2x^2}{25(x+1)}$$
Étudier les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $\left]-1\,;\,+\infty\right[$ puis en déduire que la fonction $f$ est strictement croissante sur l'intervalle $\left[2\,;\,6{,}5\right]$.
On considère $h$ la fonction définie sur l'intervalle $\left[2\,;\,6{,}5\right]$ par $h(x) = f(x) - x$.
On donne ci-dessous le tableau de variations de la fonction $h$ :
Tableau de variations de la fonction $h$
Montrer que l'équation $h(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha \in \left[2\,;\,6{,}5\right]$.
On considère le script suivant, écrit en langage Python :
from math import *
def f(x):
return 4*log(1+x)-(x**2)/25
def bornes(n):
p = 1/10**n
x = 6
while f(x)-x > 0:
x = x + p
return (x-p, x)
On rappelle qu'en langage Python :
- la commande `log(x)` renvoie la valeur $\ln x$ ;
- la commande `c**d` renvoie la valeur de $c^d$.
Donner les valeurs renvoyées par la commande `bornes(2)`. On donnera les valeurs arrondies au centième.
Interpréter ces valeurs dans le contexte de l'exercice.
Partie B
Dans cette partie, on pourra utiliser les résultats obtenus dans la partie A.
On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 2$, et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = f(u_n)$.
Montrer par récurrence que pour tout $n$ entier naturel,
$$2 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} < 6{,}5.$$
En déduire que la suite $(u_n)$ converge vers une limite $\ell$.
On rappelle que le réel $\alpha$, défini dans la partie A, est la solution de l'équation $h(x) = 0$ sur l'intervalle $\left[2\,;\,6{,}5\right]$.
Justifier que $\ell = \alpha$.