Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Centres étrangers J1 2025. Il couvre 4 thèmes : Divers, Équations différentielles, Fonction exponentielle…. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
Partie A
On considère l'équation différentielle
$$(E_1) : y' + 0{,}48\,y = \frac{1}{250},$$
où $y$ est une fonction de la variable $t$ appartenant à l'intervalle $\left[0\,;\,+\infty\right[$.
On considère la fonction constante $h$ définie sur l'intervalle $\left[0\,;\,+\infty\right[$ par $h(t) = \dfrac{1}{120}$. Montrer que la fonction $h$ est solution de l'équation différentielle $(E_1)$.
Donner la forme générale des solutions de l'équation différentielle $y' + 0{,}48\,y = 0$.
En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle $(E_1)$.
Partie B
On s'intéresse à présent à l'évolution d'une population de bactéries dans un milieu de culture.
À un instant $t = 0$, on introduit une population initiale de 30 000 bactéries dans le milieu. On note $p(t)$ la quantité de bactéries, exprimée en millier d'individus, présente dans le milieu après un temps $t$, exprimé en heure.
On a donc $p(0) = 30$.
On admet que la fonction $p$ définie sur l'intervalle $\left[0\,;\,+\infty\right[$ est dérivable, strictement positive sur cet intervalle et qu'elle est solution de l'équation différentielle $(E_2)$ :
$$p' = \frac{1}{250}\,p \times (120 - p)$$
Soit $y$ la fonction strictement positive sur l'intervalle $\left[0\,;\,+\infty\right[$ telle que, pour tout $t$ appartenant à l'intervalle $\left[0\,;\,+\infty\right[$, on a $p(t) = \dfrac{1}{y(t)}$.
Montrer que si $p$ est solution de l'équation différentielle $(E_2)$, alors $y$ est solution de l'équation différentielle $(E_1)$ : $y' + 0{,}48\,y = \dfrac{1}{250}$.
On admet réciproquement que, si $y$ est une solution strictement positive de l'équation différentielle $(E_1)$, alors $p = \dfrac{1}{y}$ est solution de l'équation différentielle $(E_2)$.
Montrer que, pour tout $t$ appartenant à l'intervalle $\left[0\,;\,+\infty\right[$, on a :
$$p(t) = \frac{120}{1 + K\,e^{-0{,}48t}}$$
avec $K$ une constante réelle.
En utilisant la condition initiale, déterminer la valeur de $K$.
Déterminer $$\lim_{t \to +\infty} p(t).$$ En donner une interprétation dans le contexte de l'exercice.
Déterminer le temps nécessaire pour que la population de bactéries dépasse 60 000 individus. On donnera le résultat sous la forme d'une valeur arrondie exprimée en heures et minutes.