Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat TERM_STI2D — Physique-Chimie et Mathématiques (Terminale technologique), session Sujet 0 2021. Il couvre 4 thèmes : Aires et volumes, Calcul intégral et primitives, Équations différentielles…. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
Exercice 3 — Cet exercice est composé de quatre questions indépendantes
On considère l'équation différentielle
$$(E) : y' + 100y = 8.$$
Déterminer la solution $ v $ définie sur $[0\,;\,+\infty[$ de cette équation différentielle, qui vérifie la condition initiale $ v(0) = 0 $.
La fonction $ v $ déterminée à la question précédente modélise la vitesse (exprimée en $\mathrm{m \cdot s^{-1}}$) de chute d'une bille dans un liquide visqueux en fonction du temps $ t $ écoulé depuis le début de la chute (exprimé en s). Déterminer la vitesse, arrondie à $ 0{,}001\ \mathrm{m \cdot s^{-1}}$, de la bille après $ 0{,}01 $ seconde de chute.
Rappel : Pour $ a $ et $ b $ deux réels, on a les formules suivantes :
| Formule |
|---|
| $\cos(a+b) = \cos(a)\cos(b) - \sin(a)\sin(b)$ |
| $\cos(a-b) = \cos(a)\cos(b) + \sin(a)\sin(b)$ |
| $\sin(a+b) = \sin(a)\cos(b) + \cos(a)\sin(b)$ |
| $\sin(a-b) = \sin(a)\cos(b) - \cos(a)\sin(b)$ |
La tension $ u $ (exprimée en volt) aux bornes d'un dipôle en fonction du temps $ t $ (exprimé en seconde) est donnée par :
$$u(t) = \frac{7\sqrt{3}}{4}\cos(100t) - \frac{7}{4}\sin(100t)$$
Transformer l'écriture de $ u $ sous la forme $ u(t) = U_{\max}\cos(\omega t + \varphi)$ où :
- $ U_{\max}$ représente la tension maximale (exprimée en V) ;
- $\omega $ représente la pulsation (exprimée en $\mathrm{rad \cdot s^{-1}}$) ;
- $\varphi $ représente le déphasage (exprimé en rad).
En déduire la valeur du déphasage $\varphi $ de $ u(t)$.
On considère les deux fonctions $ f $ et $ g $ définies et continues sur $[0\,;\,9]$ respectivement par :
$$f(x) = x^2 - 2x + 4 \quad \text{et} \quad g(x) = 7x + 4$$
Les représentations graphiques des deux fonctions sont données ci-dessous.
Représentations graphiques de $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ sur $[0;9]$
Déterminer la valeur exacte de l'aire, exprimée en unité d'aire, située entre les courbes représentatives de ces deux fonctions.
La tension $ u_c(t)$ (exprimée en volt), aux bornes d'un condensateur lors de sa charge, est modélisée par :
$$u_c(t) = E\left(1 - e^{-\frac{t}{RC}}\right)$$
où $ t $ désigne le temps, exprimé en seconde.
Les caractéristiques du condensateur utilisé sont :
- Tension maximale : $ E = 4\ \mathrm{V}$
- Résistance : $ R = 10^3\ \Omega $
- Capacité : $ C = 2 \times 10^{-3}\ \mathrm{F}$
Déterminer le temps de charge $ t $ (exprimé en seconde, arrondi à $ 0{,}1\ \mathrm{s}$ près) nécessaire pour obtenir une tension aux bornes du condensateur égale à la moitié de sa tension maximale.