Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat TERM_STI2D — Physique-Chimie et Mathématiques (Terminale technologique), session Mexique 2023. Il couvre 5 thèmes : Dérivation et étude de fonctions, Équations différentielles, Fonction exponentielle…. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
Les questions sont indépendantes.
On considère l'équation différentielle
$$(E) : \quad y' = -2y + 40.$$
Déterminer l'ensemble des solutions de l'équation différentielle $ (E)$.
En déduire la solution $ f $ de l'équation différentielle $ (E)$ qui vérifie $ f(0) = 200 $.
Soit $ f $ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par
$$f(x) = (x-1)e^x.$$
$ f $ est dérivable et sa dérivée est notée $ f'$.
Justifier le signe de $ f'(x)$ établi dans le tableau ci-dessous :
| $ x $ | $-\infty $ | $ 0 $ | $+\infty $ | ||
|---|---|---|---|---|---|
| $ f'(x)$ | $-$ | $ 0 $ | $+$ |
Justifier le signe de $ f'(x)$ établi dans le tableau ci-dessous :
| $ x $ | $-\infty $ | $ 0 $ | $+\infty $ | ||
|---|---|---|---|---|---|
| $ f'(x)$ | $-$ | $ 0 $ | $+$ |
On considère les nombres complexes
$$z_1 = 2e^{i\frac{\pi}{3}} \quad \text{et} \quad z_2 = \sqrt{2}\,e^{i\frac{\pi}{4}}$$
Exprimer sous forme exponentielle le produit $ z_1 \times z_2 $.
En déduire une forme trigonométrique de $ z_1 \times z_2 $.
L'évolution de l'effectif de la population d'un pays, exprimé en millions d'habitants, est modélisée par la fonction $ f $ définie sur $[0\,;\,40]$ comme suit :
$$f(t) = 10\,e^{0{,}02t},$$
où $ t $ correspond au nombre d'années écoulées depuis le 1er janvier 2020.
Estimer le nombre d'habitants donné par ce modèle au 1er janvier 2020 et au 1er janvier 2021.
D'après ce modèle, déterminer l'année durant laquelle l'effectif de la population dépassera 20 millions d'habitants.