Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat TERM_STI2D — Physique-Chimie et Mathématiques (Terminale technologique), session Métropole Antilles-Guyane 2024. Il couvre 3 thèmes : Calcul intégral et primitives, Équations différentielles, Fonction exponentielle. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
Dans cet exercice, les questions 1, 2, 3 et 4 peuvent être traitées de façon indépendante les unes des autres.
Un parachutiste est en chute libre dans l'air jusqu'à l'instant $ t = 0 $ où il ouvre son parachute. Sa vitesse est alors de $ 50\ \mathrm{m \cdot s^{-1}}$. On admet par la suite que sa vitesse $ v $, en $\mathrm{m \cdot s^{-1}}$, en fonction du temps $ t $, en s, est solution de l'équation différentielle sur l'intervalle $[0 ; +\infty[$ :
$$(E) : \quad y' = -5y + 10.$$
La fonction constante $ g $ définie sur l'intervalle $[0 ; +\infty[$ par $ g(t) = 2 $ est-elle une solution de l'équation différentielle $ (E)$ ? Justifier la réponse.
La fonction constante $ g $ définie sur l'intervalle $[0 ; +\infty[$ par $ g(t) = 2 $ est-elle une solution de l'équation différentielle $ (E)$ ? Justifier la réponse.
Montrer que les solutions de l'équation différentielle $ (E)$ sur l'intervalle $[0 ; +\infty[$ sont les fonctions $ f $ définies sur cet intervalle par $ f(t) = k\, e^{-5t} + 2 $, où $ k $ est un nombre réel donné.
Montrer que les solutions de l'équation différentielle $ (E)$ sur l'intervalle $[0 ; +\infty[$ sont les fonctions $ f $ définies sur cet intervalle par $ f(t) = k\, e^{-5t} + 2 $, où $ k $ est un nombre réel donné.
En admettant le résultat de la question précédente, montrer que la fonction $ v $ est donnée sur $[0 ; +\infty[$ par $ v(t) = 48\, e^{-5t} + 2 $.
En admettant le résultat de la question précédente, montrer que la fonction $ v $ est donnée sur $[0 ; +\infty[$ par $ v(t) = 48\, e^{-5t} + 2 $.
La distance parcourue, en mètre, par le parachutiste pendant les 10 premières secondes après ouverture du parachute est donnée par l'intégrale :
$$\int_0^{10} \left(48\, e^{-5t} + 2\right) \mathrm{d}t$$
Calculer cette intégrale (arrondir à $ 10^{-1}$).
La distance parcourue, en mètre, par le parachutiste pendant les 10 premières secondes après ouverture du parachute est donnée par l'intégrale :
$$\int_0^{10} \left(48\, e^{-5t} + 2\right) \mathrm{d}t$$
Calculer cette intégrale (arrondir à $ 10^{-1}$).