Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat TERM_STI2D — Physique-Chimie et Mathématiques (Terminale technologique), session Polynésie 2025. Il porte sur les thèmes Calcul intégral et primitives et Dérivation et étude de fonctions. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
Accélération d'un véhicule
Un véhicule électrique de masse, notée $ M $, de valeur $ 1\,600\,\mathrm{kg}$, se déplace sur une route horizontale et rectiligne.
Le constructeur souhaite vérifier si l'intensité de la force $\vec{F}$ de traction vaut environ $ 800\,\mathrm{N}$ pour une accélération de $ 0{,}5\,\mathrm{m \cdot s^{-2}}$.
Le graphique du document n° 1 représente l'évolution de la vitesse instantanée $ v(t)$ (exprimée en $\mathrm{m \cdot s^{-1}}$) en fonction du temps $ t $ (exprimé en seconde) durant 50 secondes.
1 u.a. = 1 unité d'aire.
Document n°1 : évolution de la vitesse instantanée
L'accélération instantanée est la dérivée de la vitesse par rapport au temps :
$$a(t) = \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}(t)$$
avec :
- $ v(t)$ la vitesse instantanée en $\mathrm{m \cdot s^{-1}}$ à l'instant $ t $ ;
- $ a(t)$ l'accélération instantanée en $\mathrm{m \cdot s^{-2}}$ à l'instant $ t $.
Décrire la nature du mouvement de la voiture sur chacun des intervalles de temps $[0\,;\,5]$, $[5\,;\,10]$, $[10\,;\,30]$ et $[30\,;\,50]$.
On s'intéresse à l'accélération instantanée du véhicule sur l'intervalle $[1\,;\,4]$, et on admet que sur cet intervalle, on a : $ v(t) = 2t $.
Déterminer la valeur de l'accélération $ a(t)$ sur l'intervalle $[1\,;\,4]$.
La distance totale, notée $ D $ et exprimée en mètre, parcourue par le véhicule en 50 secondes est donnée par :
$$D = \int_0^{50} v(t)\,\mathrm{d}t$$
Donner, en exploitant le graphique, une estimation de la distance totale parcourue par le véhicule.
Déduire la valeur de la vitesse moyenne du véhicule, exprimée en $\mathrm{km \cdot h^{-1}}$, dans l'intervalle de temps $[0\,;\,50]$.
Établir l'inventaire des forces qui agissent sur le véhicule lorsqu'il est en mouvement.
On admet que le principe fondamental de la dynamique se réduit ici à la relation $\vec{F} = M\,\vec{a}$, où $\vec{F}$ est la force de traction du véhicule et $\vec{a}$ le vecteur accélération.
Indiquer la force négligée dans cette étude.
Dans l'intervalle de temps $[15\,;\,25]$, l'accélération du véhicule a pour norme $ 0{,}5\,\mathrm{m \cdot s^{-2}}$.
Vérifier si l'intensité de la force $ F $ de traction pour une accélération de $ 0{,}5\,\mathrm{m \cdot s^{-2}}$ vaut bien environ $ 800\,\mathrm{N}$ dans l'intervalle de temps $[15\,;\,25]$.