Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat TERM_STI2D — Physique-Chimie et Mathématiques (Terminale technologique), session Polynésie 2025. Il couvre 4 thèmes : Équations différentielles, Fonction exponentielle, Limites de fonctions…. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.
Partie 1
On considère les nombres complexes $ z_1 = \sqrt{3} - i $ et $ z_2 = 2\,e^{i\frac{\pi}{4}}$ où $ i $ désigne le nombre complexe de module $ 1 $ et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.
Écrire le nombre $ z_1 $ sous forme exponentielle. Détailler les calculs.
Démontrer que le nombre $ Z = z_1^3 \times z_2^2 $ est un nombre réel en détaillant les calculs.
Partie II
On considère l'équation différentielle
$$(E) : \quad y' = -4y + 80$$
où $ y $ est une fonction définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ et $ y'$ la fonction dérivée de $ y $.
Déterminer l'ensemble des solutions de l'équation différentielle $ (E)$.
En déduire la solution $ f $ de l'équation différentielle $ (E)$ qui vérifie $ f(0) = 100 $.
Donner, sans la justifier, la limite de $ f $ en $+\infty $.