Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat TERM_STI2D — Physique-Chimie et Mathématiques (Terminale technologique), session Polynésie 2022. Il couvre 6 thèmes : Dérivation et étude de fonctions, Équations différentielles, Fonction exponentielle…. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
EXERCICE 3 commun à tous les candidats (mathématiques)
Dans cet exercice, seulement 4 questions au choix parmi les 6 questions proposées sont à traiter
Toutes ces questions sont indépendantes les unes des autres.
Une entreprise réalise des bouchons par injection plastique. On modélise la température (en degré Celsius) d'un bouchon plastique à l'issue de sa fabrication, en fonction du temps $ t $ (en seconde) par l'équation différentielle :
$$y' = -0{,}1y + 7.$$
Montrer que la fonction $\theta $ définie par $\theta(t) = 80e^{-0{,}1t} + 70 $ sur l'intervalle $[0 ; +\infty[$ est solution de cette équation différentielle et qu'elle vérifie la conditionsss initiale $\theta(0) = 150 $.
Soit le nombre complexe $ z = -1 + i $.
a. Montrer que $ z = \sqrt{2}\, e^{i\frac{3\pi}{4}}$.
b. Quelle est la partie imaginaire de $ z^4 $ ? Justifier.
Une voiture électrique, dont l'accumulateur est totalement déchargé, est branchée à une borne de rechargement. L'énergie emmagasinée par l'accumulateur (en kilowattheure), notée $ E $, peut être modélisée en fonction du temps $ t $ écoulé (en heure) par la fonction $ E $ définie pour $ t \in [0 ; +\infty[$ par :
$$E(t) = 18\left(1 - e^{-0{,}45t}\right).$$
On admet que cette voiture a une énergie de stockage limitée à $ 18\ \mathrm{kWh}$.
Déterminer l'instant $ t_0 $, arrondi à la minute, à partir duquel la moitié de cette énergie de stockage limite a été emmagasinée.
On considère une fonction $ f $ dérivable sur $]0 ; +\infty[$ dont la fonction dérivée $ f'$ est, donnée, pour tout $ x \in ]0 ; +\infty[$, par $ f'(x) = \dfrac{-3x + 2}{x}$.
Étudier le sens de variation de la fonction $ f $ sur $]0 ; +\infty[$.
On considère l'équation :
$$3\ln(x) - \ln(x + 30) = 2\ln(5),$$
où $ x $ appartient à l'intervalle $]0 ; +\infty[$.
Donner, parmi les quatre propositions suivantes, la solution de cette équation.
Donner, parmi les quatre propositions suivantes, la solution de cette équation.
a. $ 0 $ b. $ e^{-5}$ c. $ 10 $ d. $ 20 $
Une société de peinture utilise, dans le cadre de son activité, une nacelle élévatrice (dite « nacelle à ciseaux »).
On note $ h(t)$ la hauteur (en mètre) de la nacelle à l'instant $ t $ (en seconde) suivant la mise en route.
On suppose que $ h $ est la fonction de la variable réelle $ t $ définie et dérivable sur $[0 ; +\infty[$ d'expression
$$h(t) = -15e^{-0{,}2t} + 18.$$
D'après : https://www.haulotte.fr/produitlh18-sx
a. Déterminer la hauteur initiale de la nacelle.
b. Déterminer la limite de la fonction $ h $ en $+\infty $. Interpréter cette limite dans le contexte de l'exercice.