Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat TERM_STI2D — Physique-Chimie et Mathématiques (Terminale technologique), session Métropole (secours) 2025. Il couvre 3 thèmes : Équations différentielles, Fonction exponentielle, Limites de fonctions. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
Transferts thermiques dans une glacière
On souhaite savoir combien de temps une boisson peut rester au frais dans une glacière. On considère que la boisson reste fraîche tant que sa température est inférieure à 17 °C.
Partie 1
On considère une glacière réfrigérante comprenant un dispositif de refroidissement de ce qu'elle contient. La paroi de la glacière est composée de deux couches de polypropylène (PP) d'épaisseur $ e_{PP} = 0{,}25\,\mathrm{cm}$ et d'une couche de mousse de polyuréthane (PU) d'épaisseur $ e_{PU} = 4{,}5\,\mathrm{cm}$.
On donne les conductivités thermiques des matériaux :
— Polypropylène (PP) : $\lambda_{PP} = 0{,}20\,\mathrm{W \cdot K^{-1} \cdot m^{-1}}$.
— Mousse polyuréthane (PU) : $\lambda_{PU} = 0{,}025\,\mathrm{W \cdot K^{-1} \cdot m^{-1}}$.
On rappelle que la résistance thermique surfacique $ r_{\mathrm{th}}$ d'une paroi constituée d'un matériau unique est donnée par la relation :
$$r_{\mathrm{th}} = \frac{e}{\lambda}.$$
où $ e $ est l'épaisseur du matériau (en m) et $\lambda $ sa conductivité thermique en $\mathrm{W \cdot K^{-1} \cdot m^{-1}}$.
La résistance thermique $ R_{\mathrm{th}}$ d'une paroi de surface $ S $ est donnée par la relation :
$$R_{\mathrm{th}} = \frac{r_{\mathrm{th}}}{S}.$$
Calculer la valeur de la résistance thermique surfacique de la couche de mousse de polyuréthane $ r_{PU}$.
Montrer que la résistance thermique surfacique $ r_{th}$ de la paroi de la glacière est voisine de $ 1{,}83\,\mathrm{m^2 \cdot K \cdot W^{-1}}$.
La surface totale $ S $ des parois de la glacière vaut $ S = 1{,}2\,\mathrm{m^2}$. Calculer la résistance thermique $ R_{\mathrm{th}}$ globale entre l'intérieur de la glacière et l'air extérieur.
Le dispositif de refroidissement fonctionne un moment puis est interrompu à un instant pris comme origine des temps $ t = 0 $. La glacière demeure fermée pendant 1 h dans une pièce dont la température ambiante est constante et vaut $\theta_{\mathrm{ext}} = 24{,}2\,°\mathrm{C}$.
Le suivi temporel de la température à l'intérieur de la glacière a permis d'obtenir le graphique de la figure 1 ci-après.
Figure 1 – Évolution de la température de la glacière au cours du temps
Données :
— capacité thermique de la glacière et de son contenu : $ c_g = 3{,}6\,\mathrm{kJ \cdot °C^{-1}}$ ;
— on admet que la glacière et son contenu sont à la même température.
La température initiale de l'air contenu dans la glacière est $\theta_i = 13{,}4\,°\mathrm{C}$. En utilisant la figure 1, indiquer la valeur $\theta_f $ de la température de l'air contenu dans la glacière après une heure.
Calculer la valeur de la variation d'énergie interne $\Delta U $ du système formé par la glacière et son contenu entre les instants $ t = 0 $ et $ t = 1\,\mathrm{h}$.
Représenter une paroi latérale de la glacière et préciser le sens du transfert thermique au travers de celle-ci.
Pendant les 500 premières secondes, la température passe de $\theta_i = 13{,}4\,°\mathrm{C}$ à $\theta_{500} = 14{,}4\,°\mathrm{C}$.
Montrer que le flux thermique moyen reçu par la glacière durant les 500 premières secondes est voisin de $ 7{,}2\,\mathrm{W}$.
On rappelle la relation entre le flux thermique $\phi_{\mathrm{th}}$, la résistance thermique globale $ R_{\mathrm{th}}$ et la différence de température entre l'extérieur et l'intérieur de la glacière $\theta_{\mathrm{ext}} - \theta_{\mathrm{int}}$ :
$$\phi_{\mathrm{th}} = \frac{\theta_{\mathrm{ext}} - \theta_{\mathrm{int}}}{R_{\mathrm{th}}}.$$
Montrer que la résistance thermique globale $ R_{\mathrm{th}}$ de la paroi de la glacière mesurée par cette méthode est voisine de $ 1{,}4\,\mathrm{K/W}$.
On admettra que pendant les 500 premières secondes, la différence $\theta_{\mathrm{ext}} - \theta_{\mathrm{int}}$ vaut 10,3.
Comparer le résultat de la question Q8. à celui de la question Q3. et commenter.
Partie 2
On détermine un modèle numérique à partir de l'expérience de la partie 1.
On suppose que la fonction $\theta $ modélisant la température de l'air contenu dans la glacière, en degré Celsius, en fonction du temps $ t $, en seconde, est définie sur l'intervalle $[0\,;\,+\infty[$ par :
$$\theta(t) = -10{,}8\,e^{-\frac{t}{5040}} + 24{,}2.$$
Déterminer $$\displaystyle\lim_{t \to +\infty} \theta(t)$$ et analyser le résultat dans le contexte de l'exercice.
Résoudre l'inéquation $\theta(t) \geqslant 17 $. Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.