Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat TERM_STL — Physique-Chimie et Mathématiques (Terminale technologique), session Métropole Septembre 2025. Il couvre 4 thèmes : Dérivation et étude de fonctions, Équations différentielles, Fonction exponentielle…. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
Dans cet exercice, les quatre questions sont indépendantes. Il faut traiter les quatre questions.
Question 1
Soit $ f $ la fonction définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ par $ f(x) = 3x + 5 + e^x $. On note $ f'$ la fonction dérivée de $ f $.
Calculer $ f'(x)$.
Question 2
Résoudre dans $]0 ; +\infty[$ l'équation : $ 2\ln(x) - 1 = 7 $.
Question 3
Soit le nombre $ T $ suivant :
$$T = e^{-5} \times e^{2}$$
En détaillant les calculs, écrire $ T $ sous la forme $ e^n $ où $ n $ est un nombre entier relatif.
Question 4
Soit $ g $ une fonction définie et dérivable sur $\mathbb{R}$. On admet que $ g $ est la solution de l'équation différentielle $ y' = 0{,}2y + 1 $ qui vérifie $ g(0) = 3 $. Parmi les quatre propositions ci-dessous, une seule est la bonne réponse, recopier sur votre copie le numéro de la proposition qui vous semble correspondre à celle de la fonction $ g $.
Proposition 1 : $ g(x) = e^{0{,}2x} + 2 $
Proposition 2 : $ g(x) = 8e^{0{,}2x} - 5 $
Proposition 3 : $ g(x) = 3e^{0{,}2x}$
Proposition 4 : $ g(x) = 6e^{-0{,}2x} - 3 $
Parmi les quatre propositions ci-dessus, recopier sur votre copie le numéro de la proposition qui correspond à la fonction $ g $. Aucune justification n'est demandée pour cette question.