Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat TERM_STL — Physique-Chimie et Mathématiques (Terminale technologique), session Métropole Septembre 2022. Il couvre 5 thèmes : Dérivation et étude de fonctions, Fonction exponentielle, Fonctions trigonométriques…. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
Exercice 3 – Questions indépendantes (4 questions au choix parmi 6)
Le candidat doit traiter quatre questions parmi les six que comporte l'exercice. Les questions sont indépendantes. Le candidat choisit les quatre questions auxquelles il répond et indique clairement leur numéro sur sa copie en début d'exercice. Seules ces questions sont évaluées. Chacune d'elles est notée sur un point. Traiter une question supplémentaire ne rapporte aucun point.
{Mathématiques}
Question 1
Soit la fonction $ f $ définie sur $[0\,;\,+\infty[$ par $ f(x) = (-4x + 8)e^{-x}$.
Montrer que $ f(0)$ est un nombre entier que l'on précisera.
Question 2
Déterminer $$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} (-4x + 8)e^{-x}$$.
Question 3
Soit la fonction $ f $ définie et dérivable sur $[0\,;\,+\infty[$ par $ f(x) = (-4x + 8)e^{-x}$. On note $ f'$ sa fonction dérivée.
Déterminer $ f'(x)$ pour tout $ x $ appartenant à l'intervalle $[0\,;\,+\infty[$.
Question 4
On donne :
$$A = \frac{e^8 \times e^{-3}}{(e^{0{,}5})^4}$$
Écrire $ A $ sous la forme $ e^n $, $ n $ étant un nombre entier relatif.
Question 5
Sachant que $\cos\!\left(\dfrac{9\pi}{5}\right) = \dfrac{\sqrt{5}+1}{4}$,
Exprimer $\cos\!\left(\dfrac{\pi}{5}\right)$ en fonction de $\sqrt{5}$.
Question 6
Dans un repère orthonormé, on donne les coordonnées des vecteurs suivants :
$$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix} \quad \text{et} \quad \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}$$
Déterminer le produit scalaire $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$.