BAC 1ère 2026 — Sujet 0 — n°1
Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Première générale), session Sujet 0 — n°1 2026. Il couvre 3 thèmes : Géométrie plane, Nombres complexes, Produit scalaire. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
On considère la figure suivante, représentée dans un repère orthonormé $ (O ; \vec{\imath}, \vec{\jmath})$.
On dispose des données suivantes :
- Le quadrilatère OABC est un carré de côté 4 ;
- On a $ A(4 ; 0)$, $ B(4 ; 4)$, $ C(0 ; 4)$, $ I(4 ; 3)$ ;
- Le point H est le projeté orthogonal du point C sur la droite $ (OI)$ ;
- On note $\mathcal{E}$ le cercle de centre $ D(2 ; 2)$ et de rayon $ 0{,}5 $.
1. a. Déterminer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{OI}$ et $\overrightarrow{OC}$.
1. b. En déduire le produit scalaire $\overrightarrow{OI} \cdot \overrightarrow{OC}$.
2. a. Exprimer le produit scalaire $\overrightarrow{OI} \cdot \overrightarrow{OC}$ en fonction des longueurs $ OH $ et $ OI $.
2. b. Calculer la longueur $ OI $.
2. c. En déduire que $ OH = 2{,}4 $.
3. a. Déterminer une équation cartésienne de la droite $ (CH)$.
3. b. Justifier qu'une équation du cercle $\mathcal{E}$ est :
$$x^2 + y^2 - 4x - 4y + 7{,}75 = 0$$
3. c. Le point $ M(1{,}5 ; 2)$ appartient-il à l'intersection du cercle $\mathcal{E}$ et de la droite $ (CH)$ ? Justifier.
Aide au calcul : $ 0{,}5^2 = 0{,}25 $ ; $ 1{,}5^2 = 2{,}25 $ ; $ 2{,}5^2 = 6{,}25 $ ; $ 5 \times 2{,}4 = 12 $