Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Première générale), session Sujet 0 — n°1 2026. Il couvre 3 thèmes : Analyse graphique, Dérivation et étude de fonctions, Suites numériques. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
On se place dans un repère $ (O ; \vec{\imath}, \vec{\jmath})$ orthogonal.
1. On considère la fonction $ g $ définie pour tout réel $ x $ par
$$g(x) = x^2 - 5x + 4$$
On note $\mathcal{P}$ la courbe représentative de la fonction $ g $.
1. a. Étudier le signe de la fonction $ g $ sur $\mathbb{R}$.
1. b. On considère un entier naturel $ n $ quelconque. On note $ A_n $ le point de la courbe $\mathcal{P}$ d'abscisse $ n $. On note $ a_n $ le coefficient directeur de la droite $ (A_n A_{n+1})$. Justifier que pour tout entier naturel $ n $, on a $ a_n = 2n - 4 $.
1. c. Quelle est la nature de la suite $ (a_n)$ ?
2. On considère la fonction $ f $ définie pour tout réel $ x $ de l'intervalle $[0{,}5 ; 8]$ par
$$f(x) = x - 5 + \frac{4}{x}$$
On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $ f $.
2. a. Vérifier que pour tout réel $ x $ de l'intervalle $[0{,}5 ; 8]$ on a $ f(x) = \dfrac{g(x)}{x}$.
2. b. À l'aide de la question 1. a, déterminer la position de la courbe $\mathcal{C}$ par rapport à l'axe des abscisses.
2. c. On admet que la fonction $ f $ est dérivable sur l'intervalle $[0{,}5 ; 8]$. Montrer que pour tout réel $ x $ de l'intervalle $[0{,}5 ; 8]$ on a :
$$f'(x) = \frac{(x-2)(x+2)}{x^2}$$
2. d. En déduire le tableau de variations de la fonction $ f $ sur l'intervalle $[0{,}5 ; 8]$.
2. e. Réaliser un schéma de l'allure de la courbe $\mathcal{C}$ sur lequel apparaîtront les résultats des questions 2. b et 2. d.