BAC 1ère 2026 — Sujet 0 — n°1
Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Mathématiques (Première technologique), session Sujet 0 — n°1 2026. Il couvre 3 thèmes : Limites de fonctions, Optimisation, Suites numériques. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
Exercice 1
Une biologiste désire étudier l'évolution de la population de singes sur une île. En 2025, elle estime qu'il y a 1 000 singes sur l'île.
A. Premier modèle
Chaque année, la population de singes baisse de 10 %.
Montrer qu'en 2026, il y aura 900 singes sur l'île.
Pour tout entier naturel $ n $, on note $ u_n $ le nombre de singes sur l'île pour l'année $ 2025 + n $. On a donc $ u_0 = 1\,000 $.
a. Indiquer ce que représente $ u_2 $ et calculer sa valeur.
b. Déterminer la nature de la suite $ (u_n)$ et préciser sa raison.
c. Donner les variations de cette suite.
Selon ce modèle, la population de singes est-elle menacée d'extinction ? Justifier.
B. Second modèle
On admet que l'évolution du nombre de singes est modélisée par la suite $ (v_n)$ ainsi définie :
$$\begin{cases} v_{n+1} = 0{,}9\, v_n + 150 & ; \quad n \in \mathbb{N} \\ v_0 = 1\,000 \end{cases}$$
où $ v_n $ désigne le nombre de singes sur l'île pour l'année $ 2025 + n $.
Avec ce modèle, quelle sera la population de singes en 2026 ? Détailler le calcul.
La feuille de calcul ci-contre donne les valeurs arrondies à l'unité des premiers termes de la suite $ (v_n)$.
Quelle formule, destinée à être étirée vers le bas, faut-il saisir dans la cellule B3 pour obtenir les termes de la suite $ (v_n)$ ?
Indiquer en quelle année la population de singes dépassera pour la première fois 1 400 individus.