BAC Spé Maths 2021 — Métropole J1 Septembre 2021
Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Métropole J1 Septembre 2021. Il couvre 3 thèmes : Dérivation et étude de fonctions, Droites et plans dans l'espace, Fonction logarithme népérien. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
EXERCICE B — Au choix du candidat
Principaux domaines abordés : Fonction logarithme.
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Partie I
On considère la fonction $h$ définie sur l'intervalle $\left]0\,;\,+\infty\right[$ par :
$$h(x) = 1 + \frac{\ln(x)}{x}$$
Déterminer la limite de la fonction $h$ en $0$.
Déterminer la limite de la fonction $h$ en $+\infty$.
On note $h'$ la fonction dérivée de $h$. Démontrer que, pour tout nombre réel $x$ de $\left]0\,;\,+\infty\right[$, on a :
$$h'(x) = \frac{1 - \ln(x)}{x^2}$$
Dresser le tableau de variations de la fonction $h$ sur l'intervalle $\left]0\,;\,+\infty\right[$.
Démontrer que l'équation $h(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $\left]0\,;\,+\infty\right[$.
Justifier que l'on a : $0{,}5 < \alpha < 0{,}6$.
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Partie II
Dans cette partie, on considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur $\left]0\,;\,+\infty\right[$ par :
$$f(x) = x\ln(x) - x \quad ; \quad g(x) = \ln(x)$$
On note $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ les courbes représentant respectivement les fonctions $f$ et $g$ dans un repère orthonormé $\left(O\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath}\right)$.
Pour tout nombre réel $a$ strictement positif, on appelle :
- $T_a$ la tangente à $\mathcal{C}_f$ en son point d'abscisse $a$ ;
- $D_a$ la tangente à $\mathcal{C}_g$ en son point d'abscisse $a$.
Les courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ ainsi que deux tangentes $T_a$ et $D_a$ sont représentées ci-dessous.
Courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ avec les tangentes $T_a$ et $D_a$
On recherche d'éventuelles valeurs de $a$ pour lesquelles les droites $T_a$ et $D_a$ sont perpendiculaires.
Soit $a$ un nombre réel appartenant à l'intervalle $\left]0\,;\,+\infty\right[$.
Justifier que la droite $D_a$ a pour coefficient directeur $\dfrac{1}{a}$.
Justifier que la droite $T_a$ a pour coefficient directeur $\ln(a)$.
On rappelle que dans un repère orthonormé, deux droites de coefficients directeurs respectifs $m$ et $m'$ sont perpendiculaires si et seulement si $mm' = -1$.
Démontrer qu'il existe une unique valeur de $a$, que l'on identifiera, pour laquelle les droites $T_a$ et $D_a$ sont perpendiculaires.