BAC Spé Maths 2021 — Métropole J2 Mars 2021
Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Métropole J2 Mars 2021. Il couvre 4 thèmes : Aires et volumes, Droites et plans dans l'espace, Géométrie dans l'espace…. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
Exercice 3, commun à tous les candidats
Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé $\left(O,\ \vec{\imath},\ \vec{\jmath},\ \vec{k}\right)$, on considère les points :
$A$ de coordonnées $(2\ ;\ 0\ ;\ 0)$, $B$ de coordonnées $(0\ ;\ 3\ ;\ 0)$ et $C$ de coordonnées $(0\ ;\ 0\ ;\ 1)$.
Pyramide OABC dans le repère orthonormé
L'objectif de cet exercice est de calculer l'aire du triangle $ABC$.
Montrer que le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}3\\2\\6\end{pmatrix}$ est normal au plan $(ABC)$.
En déduire qu'une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est : $3x + 2y + 6z - 6 = 0$.
On note $d$ la droite passant par $O$ et orthogonale au plan $(ABC)$.
Déterminer une représentation paramétrique de la droite $d$.
Montrer que la droite $d$ coupe le plan $(ABC)$ au point $H$ de coordonnées $\left(\dfrac{18}{49}\ ;\ \dfrac{12}{49}\ ;\ \dfrac{36}{49}\right)$.
Calculer la distance $OH$.
On rappelle que le volume d'une pyramide est donné par : $V = \dfrac{1}{3}\mathcal{B}h$, où $\mathcal{B}$ est l'aire d'une base et $h$ est la hauteur de la pyramide correspondant à cette base.
En calculant de deux façons différentes le volume de la pyramide $OABC$, déterminer l'aire du triangle $ABC$.