Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Métropole J2 Mars 2021. Il porte sur les thèmes Algorithmique et programmation Python et Suites numériques. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
Exercice 2, commun à tous les candidats
On considère les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ définies pour tout entier naturel $n$ par :
$$\begin{cases} u_0 = v_0 = 1 \\ u_{n+1} = u_n + v_n \\ v_{n+1} = 2u_n + v_n \end{cases}$$
Dans toute la suite de l'exercice, on admet que les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont strictement positives.
Calculez $u_1$ et $v_1$.
Démontrer que la suite $(v_n)$ est strictement croissante, puis en déduire que, pour tout entier naturel $n$, $v_n \geqslant 1$.
Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n \geqslant n + 1$.
En déduire la limite de la suite $(u_n)$.
On pose, pour tout entier naturel $n$ :
$$r_n = \frac{v_n}{u_n}.$$
On admet que :
$$r_n^2 = 2 + \frac{(-1)^{n+1}}{u_n^2}$$
Démontrer que pour tout entier naturel $n$ :
$$-\frac{1}{u_n^2} \leqslant \frac{(-1)^{n+1}}{u_n^2} \leqslant \frac{1}{u_n^2}.$$
En déduire :
$$\lim_{n \to +\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{u_n^2}.$$
Déterminer la limite de la suite $\left(r_n^2\right)$ et en déduire que $(r_n)$ converge vers $\sqrt{2}$.
Démontrer que pour tout entier naturel $n$,
$$r_{n+1} = \frac{2 + r_n}{1 + r_n}.$$
On considère le programme suivant écrit en langage Python :
def seuil() :
n = 0
r = 1
while abs(r-sqrt(2)) > 10**(-4) :
r = (2+r)/(1+r)
n = n+1
return n
(abs désigne la valeur absolue, sqrt la racine carrée et 10**(-4) représente $10^{-4}$).
La valeur de $n$ renvoyée par ce programme est 5.
À quoi correspond-elle ?