BAC Spé Maths 2021 — Métropole J2 Septembre 2021
Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Métropole J2 Septembre 2021. Il couvre 3 thèmes : Dérivation et étude de fonctions, Fonction exponentielle, Géométrie plane. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
Partie I
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par
$$f(x) = x - e^{-2x}.$$
On appelle $\Gamma$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormé $\left(O\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath}\right)$.
Déterminer les limites de la fonction $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$.
Étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$ et dresser son tableau de variation.
Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $\mathbb{R}$, dont on donnera une valeur approchée à $10^{-2}$ près.
Déduire des questions précédentes le signe de $f(x)$ suivant les valeurs de $x$.
Partie II
Dans le repère orthonormé $\left(O\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath}\right)$, on appelle $\mathscr{C}$ la courbe représentative de la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par :
$$g(x) = e^{-x}.$$
La courbe $\mathscr{C}$ et la courbe $\Gamma$ (qui représente la fonction $f$ de la Partie I) sont tracées sur le graphique donné en annexe qui est à compléter et à rendre avec la copie.
Courbes $\Gamma$ et $\mathscr{C}$ — Annexe à compléter et à rendre avec la copie
Le but de cette partie est de déterminer le point de la courbe $\mathscr{C}$ le plus proche de l'origine $O$ du repère et d'étudier la tangente à $\mathscr{C}$ en ce point.
Pour tout nombre réel $t$, on note $M$ le point de coordonnées $\left(t\,;\,e^{-t}\right)$ de la courbe $\mathscr{C}$. On considère la fonction $h$ qui, au nombre réel $t$, associe la distance $OM$. On a donc : $h(t) = OM$, c'est-à-dire :
$$h(t) = \sqrt{t^2 + e^{-2t}}$$
Montrer que, pour tout nombre réel $t$,
$$h'(t) = \frac{f(t)}{\sqrt{t^2 + e^{-2t}}}$$
où $f$ désigne la fonction étudiée dans la Partie I.
Démontrer que le point $A$ de coordonnées $\left(\alpha\,;\,e^{-\alpha}\right)$ est le point de la courbe $\mathscr{C}$ pour lequel la longueur $OM$ est minimale.
Placer ce point sur le graphique donné en annexe, à rendre avec la copie.
On appelle $T$ la tangente en $A$ à la courbe $\mathscr{C}$.
Exprimer en fonction de $\alpha$ le coefficient directeur de la tangente $T$.
On rappelle que le coefficient directeur de la droite $(OA)$ est égal à $\dfrac{e^{-\alpha}}{\alpha}$.
On rappelle également le résultat suivant qui pourra être utilisé sans démonstration :
Dans un repère orthonormé du plan, deux droites $D$ et $D'$ de coefficients directeurs respectifs $m$ et $m'$ sont perpendiculaires si, et seulement si le produit $mm'$ est égal à $-1$.
Démontrer que la droite $(OA)$ et la tangente $T$ sont perpendiculaires.
Tracer ces droites sur le graphique donné en annexe, à rendre avec la copie.