Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Métropole J2 Septembre 2021. Il couvre 3 thèmes : Droites et plans dans l'espace, Géométrie dans l'espace, Vecteurs dans l'espace. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé $\left(O\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k}\right)$, on considère les points $A(1\,;\,0\,;\,2)$, $B(2\,;\,1\,;\,0)$, $C(0\,;\,1\,;\,2)$ et la droite $\Delta$ dont une représentation paramétrique est :
$$\begin{cases} x = 1+2t \\ y = -2+t \\ z = 4-t \end{cases},\quad t \in \mathbb{R}.$$
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse à une question ne rapporte ni n'enlève de point.
Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.
Parmi les points suivants, lequel appartient à la droite $\Delta$ ?
$M(2\,;\,1\,;\,-1)$
$N(-3\,;\,-4\,;\,6)$
$P(-3\,;\,-4\,;\,2)$
$Q(-5\,;\,-5\,;\,1)$
Le vecteur $\overrightarrow{AB}$ admet pour coordonnées :
$\begin{pmatrix}1{,}5\\0{,}5\\1\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}-1\\-1\\2\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}1\\1\\-2\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}3\\1\\2\end{pmatrix}$
Une représentation paramétrique de la droite $(AB)$ est :
$\begin{cases} x = 1+2t \\ y = t \\ z = 2 \end{cases},\quad t \in \mathbb{R}$
$\begin{cases} x = 2-t \\ y = 1-t \\ z = 2t \end{cases},\quad t \in \mathbb{R}$
$\begin{cases} x = 2+t \\ y = 1+t \\ z = 2t \end{cases},\quad t \in \mathbb{R}$
$\begin{cases} x = 1+t \\ y = 1+t \\ z = 2-2t \end{cases},\quad t \in \mathbb{R}$
Une équation cartésienne du plan passant par le point $C$ et orthogonal à la droite $\Delta$ est :
$x - 2y + 4z - 6 = 0$
$2x + y - z + 1 = 0$
$2x + y - z - 1 = 0$
$y + 2z - 5 = 0$
On considère le point $D$ défini par la relation vectorielle $\overrightarrow{OD} = 3\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OC}$.
On considère le point $D$ défini par la relation vectorielle $\overrightarrow{OD} = 3\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OC}$. Parmi les affirmations suivantes, laquelle est vraie ?
$\overrightarrow{AD}$, $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$ sont coplanaires
$\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$
$D$ a pour coordonnées $(3\,;\,-1\,;\,-1)$
Les points $A$, $B$, $C$ et $D$ sont alignés.