BAC Spé Maths 2021 — Sujet 0
Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Sujet 0 2021. Il couvre 3 thèmes : Dérivation et étude de fonctions, Fonction logarithme népérien, Limites de fonctions. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
Principaux domaines abordés
Logarithme
Dérivation, convexité, limites
Sur le graphique ci-dessous, on a représenté dans un repère orthonormé :
— la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ d'une fonction $f$ définie et dérivable sur $\left]0\,;\,+\infty\right[$;
— la tangente $\mathcal{T}_A$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $A$ de coordonnées $\left(\frac{1}{e}\,;\,e\right)$;
— la tangente $\mathcal{T}_B$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $B$ de coordonnées $(1\,;\,2)$.
La droite $\mathcal{T}_A$ est parallèle à l'axe des abscisses. La droite $\mathcal{T}_B$ coupe l'axe des abscisses au point de coordonnées $(3\,;\,0)$ et l'axe des ordonnées au point de coordonnées $(0\,;\,3)$.
$\mathcal{C}_f$, $\mathcal{T}_A$, $\mathcal{T}_B$
On note $f'$ la fonction dérivée de $f$.
PARTIE I
1. Déterminer graphiquement les valeurs de $f'\!\left(\frac{1}{e}\right)$ et de $f'(1)$.
2. En déduire une équation de la droite $\mathcal{T}_B$.
PARTIE II
On suppose maintenant que la fonction $f$ est définie sur $\left]0\,;\,+\infty\right[$ par :
$$f(x) = \frac{2 + \ln(x)}{x}.$$
1. Par le calcul, montrer que la courbe $\mathcal{C}_f$ passe par les points $A$ et $B$ et qu'elle coupe l'axe des abscisses en un point unique que l'on précisera.
2. Déterminer la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $0$ par valeurs supérieures, et la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $+\infty$.
3. Montrer que, pour tout $x \in \left]0\,;\,+\infty\right[$,
$$f'(x) = \frac{-1 - \ln(x)}{x^2}.$$
4. Dresser le tableau de variations de $f$ sur $\left]0\,;\,+\infty\right[$.
5. On note $f''$ la fonction dérivée seconde de $f$. On admet que, pour tout $x \in \left]0\,;\,+\infty\right[$
$$f''(x) = \frac{1 + 2\ln(x)}{x^3}.$$
Déterminer le plus grand intervalle sur lequel $f$ est convexe.