BAC Spé Maths 2021 — Sujet 0
Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Sujet 0 2021. Il couvre 4 thèmes : Divers, Équations différentielles, Fonction exponentielle…. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
Principaux domaines abordés
Équations différentielles
Fonction exponentielle ; suites
Dans une boulangerie, les baguettes sortent du four à une température de $225\,°C$. On s'intéresse à l'évolution de la température d'une baguette après sa sortie du four. On admet qu'on peut modéliser cette évolution à l'aide d'une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $\left[0\,;\,+\infty\right[$.
Dans cette modélisation, $f(t)$ représente la température en degré Celsius de la baguette au bout de la durée $t$, exprimée en heure, après la sortie du four. Ainsi, $f(0{,}5)$ représente la température d'une baguette une demi-heure après la sortie du four.
Dans tout l'exercice, la température ambiante de la boulangerie est maintenue à $25\,°C$. On admet alors que la fonction $f$ est solution de l'équation différentielle $y' + 6y = 150$.
1.
a. Préciser la valeur de $f(0)$.
b. Résoudre l'équation différentielle $y' + 6y = 150$.
c. En déduire que pour tout réel $t \geqslant 0$, on a $f(t) = 200e^{-6t} + 25$.
2. Par expérience, on observe que la température d'une baguette sortant du four :
— décroît ;
— tend à se stabiliser à la température ambiante.
La fonction $f$ fournit-elle un modèle en accord avec ces observations ?
3. Montrer que l'équation $f(t) = 40$ admet une unique solution dans $\left[0\,;\,+\infty\right[$.
Pour mettre les baguettes en rayon, le boulanger attend que leur température soit inférieure ou égale à $40\,°C$. On note $\mathcal{T}_0$ le temps d'attente minimal entre la sortie du four d'une baguette et sa mise en rayon.
On donne ci-après la représentation graphique de la fonction $f$ dans un repère orthogonal.
$\mathcal{C}_f$
4. Avec la précision permise par le graphique, lire $\mathcal{T}_0$. On donnera une valeur approchée de $\mathcal{T}_0$ sous forme d'un nombre entier de minutes.
5. On s'intéresse ici à la diminution, minute après minute, de la température d'une baguette à sa sortie du four. Ainsi, pour un entier naturel $n$, $\mathcal{D}_n$ désigne la diminution de température en degré Celsius d'une baguette entre la $n$-ième et la $(n+1)$-ième minute après sa sortie du four.
On admet que, pour tout entier naturel $n$ :
$$\mathcal{D}_n = f\!\left(\frac{n}{60}\right) - f\!\left(\frac{n+1}{60}\right).$$
a. Vérifier que $19$ est une valeur approchée de $\mathcal{D}_0$ à $0{,}1$ près, et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
b. Vérifier que l'on a, pour tout entier naturel $n$ :
$$\mathcal{D}_n = 200e^{-0{,}1n}\left(1 - e^{-0{,}1}\right).$$
En déduire le sens de variation de la suite $(\mathcal{D}_n)$, puis la limite de la suite $(\mathcal{D}_n)$. Ce résultat était-il prévisible dans le contexte de l'exercice ?