BAC Spé Maths 2022 — Asie J2
Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Asie J2 2022. Il couvre 4 thèmes : Algorithmique et programmation Python, Limites de fonctions, Python…. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
On s'intéresse au développement d'une bactérie.
Dans cet exercice, on modélise son développement avec les hypothèses suivantes : cette bactérie a une probabilité $0{,}3$ de mourir sans descendance et une probabilité $0{,}7$ de se diviser en deux bactéries filles.
Dans le cadre de cette expérience, on admet que les lois de reproduction des bactéries sont les mêmes pour toutes les générations de bactéries qu'elles soient mère ou fille.
Pour tout entier naturel $n$, on appelle $p_n$ la probabilité d'obtenir au plus $n$ descendances pour une bactérie.
On admet que, d'après ce modèle, la suite $\left(p_n\right)$ est définie de la façon suivante :
$$p_0 = 0{,}3 \quad \text{et, pour tout entier naturel } n,\quad p_{n+1} = 0{,}3 + 0{,}7p_n^2.$$
Valeurs approchées de la suite $(p_n)$
Déterminer les valeurs exactes de $p_1$ et $p_2$ (masquées dans la feuille de calcul) et interpréter ces valeurs dans le contexte de l'énoncé.
Quelle est la probabilité, arrondie à $10^{-3}$ près, d'obtenir au moins $11$ générations de bactéries à partir d'une bactérie de ce type ?
Formuler des conjectures sur les variations et la convergence de la suite $\left(p_n\right)$.
Démontrer par récurrence sur $n$ que, pour tout entier naturel $n$, $0 \leqslant p_n \leqslant p_{n+1} \leqslant 0{,}5$.
Justifier que la suite $\left(p_n\right)$ est convergente.
On appelle $L$ la limite de la suite $\left(p_n\right)$.
Justifier que $L$ est solution de l'équation
$$0{,}7x^2 - x + 0{,}3 = 0.$$
Déterminer alors la limite de la suite $\left(p_n\right)$.
La fonction suivante, écrite en langage Python, a pour objectif de renvoyer les $n$ premiers termes de la suite $\left(p_n\right)$.
def suite(n) :
p= ...
s=[p]
for i in range (...) :
p=...
s.append(p)
return (s)
Recopier, sur votre copie, cette fonction en complétant les lignes 2, 4 et 5 de façon à ce que la fonction `suite(n)` retourne, sous forme de liste, les $n$ premiers termes de la suite.