Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Nouvelle-Calédonie J1 2022. Il porte sur les thèmes Dérivation et étude de fonctions et Fonction logarithme népérien. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $\left]0\,;\,+\infty\right[$ par
$$f(x) = x^2 - 6x + 4\ln(x).$$
On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur l'intervalle $\left]0\,;\,+\infty\right[$.
On note $f'$ sa dérivée et $f''$ sa dérivée seconde.
On note $\mathscr{C}_f$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal.
Déterminer $$\lim_{x \to 0} f(x).$$ Interpréter graphiquement ce résultat.
Déterminer $$\lim_{x \to +\infty} f(x).$$
Déterminer $f'(x)$ pour tout réel $x$ appartenant à $\left]0\,;\,+\infty\right[$.
Étudier le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle $\left]0\,;\,+\infty\right[$. En déduire le tableau de variations de $f$.
Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution dans l'intervalle $\left[4\,;\,5\right]$.
On admet que, pour tout $x$ de $\left]0\,;\,+\infty\right[$, on a :
$$f''(x) = \frac{2x^2 - 4}{x^2}.$$
Étudier la convexité de la fonction $f$ sur $\left]0\,;\,+\infty\right[$. On précisera les valeurs exactes des coordonnées des éventuels points d'inflexion de $\mathscr{C}_f$.
On note $A$ le point de coordonnées $\left(\sqrt{2}\,;\, f\!\left(\sqrt{2}\right)\right)$. Soit $t$ un réel strictement positif tel que $t \neq \sqrt{2}$. Soit $M$ le point de coordonnées $\left(t\,;\, f(t)\right)$. En utilisant la question 4. a, indiquer, selon la valeur de $t$, les positions relatives du segment $[AM]$ et de la courbe $\mathscr{C}_f$.