Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Nouvelle-Calédonie J2 2022. Il couvre 3 thèmes : Loi binomiale et Bernoulli, Probabilités, Probabilités conditionnelles et Bayes. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
Au basket-ball, il existe deux sortes de tir :
— les tirs à deux points. Ils sont réalisés près du panier et rapportent deux points s'ils sont réussis.
— les tirs à trois points. Ils sont réalisés loin du panier et rapportent trois points s'ils sont réussis.
Stéphanie s'entraîne au tir. On dispose des données suivantes :
- Un quart de ses tirs sont des tirs à deux points. Parmi eux, 60 % sont réussis.
- Trois quarts de ses tirs sont des tirs à trois points. Parmi eux, 35 % sont réussis.
1. Stéphanie réalise un tir.
On considère les évènements suivants :
$D$ : « Il s'agit d'un tir à deux points ».
$R$ : « le tir est réussi ».
Représenter la situation à l'aide d'un arbre de probabilités.
Calculer la probabilité $p\left(\overline{D} \cap R\right)$.
Démontrer que la probabilité que Stéphanie réussisse un tir est égale à $0{,}4125$.
Stéphanie réussit un tir. Calculer la probabilité qu'il s'agisse d'un tir à trois points. Arrondir le résultat au centième.
2. Stéphanie réalise à présent une série de 10 tirs à trois points.
On note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de tirs réussis.
On considère que les tirs sont indépendants. On rappelle que la probabilité que Stéphanie réussisse un tir à trois points est égale à $0{,}35$.
Justifier que $X$ suit une loi binomiale. Préciser ses paramètres.
Calculer l'espérance de $X$. Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
Déterminer la probabilité que Stéphanie rate 4 tirs ou plus. Arrondir le résultat au centième.
Déterminer la probabilité que Stéphanie rate au plus 4 tirs. Arrondir le résultat au centième.
3. Soit $n$ un entier naturel non nul.
Stéphanie souhaite réaliser une série de $n$ tirs à trois points.
On considère que les tirs sont indépendants. On rappelle que la probabilité qu'elle réussisse un tir à trois points est égale à $0{,}35$.
Déterminer la valeur minimale de $n$ pour que la probabilité que Stéphanie réussisse au moins un tir parmi les $n$ tirs soit supérieure ou égale à $0{,}99$.