Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Centres étrangers J1 2022. Il porte sur le thème Fonction logarithme népérien. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Les six questions sont indépendantes.
Une réponse incorrecte, une réponse multiple ou l'absence de réponse à une question ne rapporte ni n'enlève de point. Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie.
Aucune justification n'est demandée.
On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ par $f(x) = \ln\left(1 + x^2\right)$.
Sur $\mathbb{R}$, l'équation $f(x) = 2022$
n'admet aucune solution.
admet exactement une solution.
admet exactement deux solutions.
admet une infinité de solutions.
Soit la fonction $g$ définie pour tout réel $x$ strictement positif par :
$$g(x) = x\ln(x) - x^2$$
On note $\mathcal{C}_g$ sa courbe représentative dans un repère du plan.
La fonction $g$ est convexe sur $\left]0\,;\,+\infty\right[$.
La fonction $g$ est concave sur $\left]0\,;\,+\infty\right[$.
La courbe $\mathcal{C}_g$ admet exactement un point d'inflexion sur $\left]0\,;\,+\infty\right[$.
La courbe $\mathcal{C}_g$ admet exactement deux points d'inflexion sur $\left]0\,;\,+\infty\right[$.
On considère la fonction $f$ définie sur $\left]-1\,;\,1\right[$ par
$$f(x) = \frac{x}{1 - x^2}$$
Une primitive de la fonction $f$ est la fonction $g$ définie sur l'intervalle $\left]-1\,;\,1\right[$ par :
$g(x) = -\dfrac{1}{2}\ln\left(1 - x^2\right)$
$g(x) = \dfrac{1 + x^2}{\left(1 - x^2\right)^2}$
$g(x) = \dfrac{x^2}{2\left(x - \dfrac{x^3}{3}\right)}$
$g(x) = \dfrac{x^2}{2}\ln\left(1 - x^2\right)$
La fonction $x \longmapsto \ln\left(-x^2 - x + 6\right)$ est définie sur
$\left]-3\,;\,2\right[$
$\left]-\infty\,;\,6\right]$
$\left]0\,;\,+\infty\right[$
$\left]2\,;\,+\infty\right[$
On considère la fonction $f$ définie sur $\left]0{,}5\,;\,+\infty\right[$ par
$$f(x) = x^2 - 4x + 3\ln(2x - 1)$$
Une équation de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $1$ est :
$y = 4x - 7$
$y = 2x - 4$
$y = -3(x - 1) + 4$
$y = 2x - 1$
L'ensemble $S$ des solutions dans $\mathbb{R}$ de l'inéquation $\ln(x+3) < 2\ln(x+1)$ est :
$S = \left]-\infty\,;\,-2\right[ \cup \left]1\,;\,+\infty\right[$
$S = \left]1\,;\,+\infty\right[$
$S = \emptyset$
$S = \left]-1\,;\,1\right[$