Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Centres étrangers J1 2022. Il couvre 3 thèmes : Géométrie dans l'espace, Produit scalaire, Vecteurs dans l'espace. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
Dans l'espace, rapporté à un repère orthonormé $\left(O\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k}\right)$, on considère les points :
$$A(2\,;\,0\,;\,3),\quad B(0\,;\,2\,;\,1),\quad C(-1\,;\,-1\,;\,2)\quad \text{et}\quad D(3\,;\,-3\,;\,-1).$$
1. Calcul d'un angle
Calculer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ et en déduire que les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés.
Calculer les longueurs $AB$ et $AC$.
À l'aide du produit scalaire $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$, déterminer la valeur du cosinus de l'angle $\widehat{BAC}$ puis donner une valeur approchée de la mesure de l'angle $\widehat{BAC}$ au dixième de degré.
2. Calcul d'une aire
Déterminer une équation du plan $\mathcal{P}$ passant par le point $C$ et perpendiculaire à la droite $(AB)$.
Donner une représentation paramétrique de la droite $(AB)$.
En déduire les coordonnées du projeté orthogonal $E$ du point $C$ sur la droite $(AB)$, c'est-à-dire du point d'intersection de la droite $(AB)$ et du plan $\mathcal{P}$.
Calculer l'aire du triangle $ABC$.
3. Calcul d'un volume
Soit le point $F(1\,;\,-1\,;\,3)$. Montrer que les points $A$, $B$, $C$ et $F$ sont coplanaires.
Vérifier que la droite $(FD)$ est orthogonale au plan $(ABC)$.
Sachant que le volume d'un tétraèdre est égal au tiers de l'aire de sa base multiplié par sa hauteur, calculer le volume du tétraèdre $ABCD$.