Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Métropole J2 Septembre 2022. Il couvre 3 thèmes : Fonction logarithme népérien, Limites de fonctions, Suites numériques. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
Les parties B et C sont indépendantes
On considère la fonction $f$ définie sur $]0\,;\,+\infty[$ par
$$f(x) = x - x\ln x,$$
où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien.
Partie A
Déterminer la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $0$.
Déterminer la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $+\infty$.
3. On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $]0\,;\,+\infty[$ et on note $f'$ sa fonction dérivée.
Démontrer que, pour tout réel $x > 0$, on a : $f'(x) = -\ln x$.
En déduire les variations de la fonction $f$ sur $]0\,;\,+\infty[$ et dresser son tableau de variations.
Résoudre l'équation $f(x) = x$ sur $]0\,;\,+\infty[$.
Partie B
Dans cette partie, on pourra utiliser avec profit certains résultats de la partie A.
On considère la suite $(u_n)$ définie par :
$$\begin{cases} u_0 = 0{,}5 \\ u_{n+1} = u_n - u_n \ln u_n \quad \text{pour tout entier naturel } n, \end{cases}$$
Ainsi, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1} = f(u_n)$.
1. On rappelle que la fonction $f$ est croissante sur l'intervalle $[0{,}5\,;\,1]$.
Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $0{,}5 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 1$.
2.
Montrer que la suite $(u_n)$ est convergente.
On note $\ell$ la limite de la suite $(u_n)$. Déterminer la valeur de $\ell$.
Partie C
Pour un nombre réel $k$ quelconque, on considère la fonction $f_k$ définie sur $]0\,;\,+\infty[$ par :
$$f_k(x) = kx - x\ln x.$$
Pour tout nombre réel $k$, montrer que $f_k$ admet un maximum $y_k$ atteint en $x_k = \mathrm{e}^{k-1}$.
Vérifier que, pour tout nombre réel $k$, on a : $x_k = y_k$.