Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Métropole J2 Septembre 2022. Il couvre 3 thèmes : Distances dans l'espace, Droites et plans dans l'espace, Géométrie dans l'espace. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé $\left(O,\, \vec{\imath},\, \vec{\jmath},\, \vec{k}\right)$, on considère :
- la droite $\mathcal{D}$ passant par le point $A(2\,;\,4\,;\,0)$ et dont un vecteur directeur est $\vec{u}\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}$ ;
- la droite $\mathcal{D}'$ dont une représentation paramétrique est : $\begin{cases} x = 3 \\ y = 3 + t \\ z = 3 + t \end{cases}$, $t \in \mathbb{R}$.
1.
Donner les coordonnées d'un vecteur directeur $\vec{u'}$ de la droite $\mathcal{D}'$.
Montrer que les droites $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}'$ ne sont pas parallèles.
Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\mathcal{D}$.
On admet dans la suite de cet exercice qu'il existe une unique droite $\Delta$ perpendiculaire aux droites $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}'$. Cette droite $\Delta$ coupe chacune des droites $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}'$. On appellera $M$ le point d'intersection de $\Delta$ et $\mathcal{D}$, et $M'$ le point d'intersection de $\Delta$ et $\mathcal{D}'$.
On se propose de déterminer la distance $MM'$ appelée « distance entre les droites $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}'$ ».
Montrer que le vecteur $\vec{v}\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$ est un vecteur directeur de la droite $\Delta$.
3. On note $\mathcal{P}$ le plan contenant les droites $\mathcal{D}$ et $\Delta$, c'est-à-dire le plan passant par le point $A$ et de vecteurs directeurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$.
Montrer que le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ -5 \end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan $\mathcal{P}$.
En déduire qu'une équation du plan $\mathcal{P}$ est : $2x - y - 5z = 0$.
On rappelle que $M'$ est le point d'intersection des droites $\Delta$ et $\mathcal{D}'$.
Justifier que $M'$ est également le point d'intersection de $\mathcal{D}'$ et du plan $\mathcal{P}$.
En déduire que les coordonnées du point $M'$ sont $(3\,;\,1\,;\,1)$.
4.
Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\Delta$.
Justifier que le point $M$ a pour coordonnées $(1\,;\,2\,;\,0)$.
Calculer la distance $MM'$.
5. On considère la droite $d$ de représentation paramétrique $\begin{cases} x = 5t \\ y = 2 + 5t \\ z = 1 + t \end{cases}$ avec $t \in \mathbb{R}$.
Montrer que la droite $d$ est parallèle au plan $\mathcal{P}$.
On note $\ell$ la distance d'un point $N$ de la droite $d$ au plan $\mathcal{P}$.
Exprimer le volume du tétraèdre $ANMM'$ en fonction de $\ell$.
On rappelle que le volume d'un tétraèdre est donné par : $V = \dfrac{1}{3} \times \mathcal{B} \times h$ où $\mathcal{B}$ désigne l'aire d'une base et $h$ la hauteur relative à cette base.
Justifier que, si $N_1$ et $N_2$ sont deux points quelconques de la droite $d$, les tétraèdres $AN_1MM'$ et $AN_2MM'$ ont le même volume.