Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Asie J1 2022. Il couvre 3 thèmes : Algorithmique et programmation Python, Fonction exponentielle, Suites numériques. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
Un médicament est administré à un patient par voie intraveineuse.
Partie A : modèle discret de la quantité médicamenteuse
Après une première injection de 1 mg de médicament, le patient est placé sous perfusion. On estime que, toutes les 30 minutes, l'organisme du patient élimine 10 % de la quantité de médicament présente dans le sang et qu'il reçoit une dose supplémentaire de $0{,}25$ mg de la substance médicamenteuse. On étudie l'évolution de la quantité de médicament dans le sang avec le modèle suivant : pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ la quantité, en mg, de médicament dans le sang du patient au bout de $n$ périodes de trente minutes. On a donc $u_0 = 1$.
Calculer la quantité de médicament dans le sang au bout d'une demi-heure.
Justifier que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = 0{,}9\,u_n + 0{,}25$.
3.
Montrer par récurrence sur $n$ que, pour tout entier naturel $n$, $u_n \leq u_{n+1} < 5$.
En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente.
4. On estime que le médicament est réellement efficace lorsque sa quantité dans le sang du patient est supérieure ou égale à $1{,}8$ mg.
Recopier et compléter le script écrit en langage Python suivant de manière à déterminer au bout de combien de périodes de trente minutes le médicament commence à être réellement efficace.
def efficace():
u = 1
n = 0
while ......:
u = ......
n = n + 1
return n
Quelle est la valeur renvoyée par ce script ? Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
5. Soit $(v_n)$ la suite définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_n = 2{,}5 - u_n$.
Montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme $(v_0)$.
Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $u_n = 2{,}5 - 1{,}5 \times 0{,}9^n$.
Le médicament devient toxique lorsque sa quantité présente dans le sang du patient dépasse 3 mg. D'après le modèle choisi, le traitement présente-t-il un risque pour le patient ? Justifier.
Partie B : modèle continu de la quantité médicamenteuse
Après une injection initiale de 1 mg de médicament, le patient est placé sous perfusion. Le débit de la substance médicamenteuse administrée au patient est de $0{,}5$ mg par heure. La quantité de médicament dans le sang du patient, en fonction du temps, est modélisée par la fonction $f$, définie sur $[0 ; +\infty[$, par
$$f(t) = 2{,}5 - 1{,}5\mathrm{e}^{-0{,}2t}$$
où $t$ désigne la durée de la perfusion exprimée en heure.
On rappelle que ce médicament est réellement efficace lorsque sa quantité dans le sang du patient est supérieure ou égale à $1{,}8$ mg.
Le médicament est-il réellement efficace au bout de 3 h 45 min ?
Selon ce modèle, déterminer au bout de combien de temps le médicament devient réellement efficace.
Comparer le résultat obtenu avec celui obtenu à la question 4. b. du modèle discret de la Partie A.