BAC Spé Maths 2022 — Asie J1
Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Asie J1 2022. Il couvre 5 thèmes : Distances dans l'espace, Droites et plans dans l'espace, Géométrie dans l'espace…. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
Le solide $ABCDEFGH$ est un cube. On se place dans le repère orthonormé $\left(A ; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\right)$ de l'espace dans lequel les coordonnées des points $B$, $D$ et $E$ sont :
$$B(3 ; 0 ; 0), \quad D(0 ; 3 ; 0) \quad \text{et} \quad E(0 ; 0 ; 3).$$
Cube ABCDEFGH avec les points P, Q et R
On considère les points $P(0 ; 0 ; 1)$, $Q(0 ; 2 ; 3)$ et $R(1 ; 0 ; 3)$.
Placer les points $P$, $Q$ et $R$ sur la figure.
Montrer que le triangle $PQR$ est isocèle en $R$.
Justifier que les points $P$, $Q$ et $R$ définissent un plan.
4. On s'intéresse à présent à la distance entre le point $E$ et le plan $(PQR)$.
Montrer que le vecteur $\vec{u}(2 ; 1 ; -1)$ est normal au plan $(PQR)$.
En déduire une équation cartésienne du plan $(PQR)$.
Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(d)$ passant par le point $E$ et orthogonale au plan $(PQR)$.
Montrer que le point $L\left(\dfrac{2}{3} ; \dfrac{1}{3} ; \dfrac{8}{3}\right)$ est le projeté orthogonal du point $E$ sur le plan $(PQR)$.
Déterminer la distance entre le point $E$ et le plan $(PQR)$.
En choisissant le triangle $EQR$ comme base, montrer que le volume du tétraèdre $EPQR$ est $\dfrac{2}{3}$.
On rappelle que le volume $V$ d'un tétraèdre est donné par la formule :
$$V = \frac{1}{3} \times \text{aire d'une base} \times \text{hauteur correspondante}$$
Trouver, à l'aide des deux questions précédentes, l'aire du triangle $PQR$.