BAC Spé Maths 2022 — Asie J1
Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Asie J1 2022. Il porte sur les thèmes Dérivation et étude de fonctions et Fonction logarithme népérien. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $\mathbb{R}$. On considère les points $A(1 ; 3)$ et $B(3 ; 5)$.
On donne ci-dessous $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal du plan, ainsi que la tangente $(AB)$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $A$.
Courbe représentative de f et tangente au point A
Les trois parties de l'exercice peuvent être traitées de manière indépendante.
Partie A
Déterminer graphiquement les valeurs de $f(1)$ et $f'(1)$.
2. La fonction $f$ est définie par l'expression $f(x) = \ln\left(ax^2 + 1\right) + b$, où $a$ et $b$ sont des nombres réels positifs.
Déterminer l'expression de $f'(x)$.
Déterminer les valeurs de $a$ et $b$ à l'aide des résultats précédents.
Partie B
On admet que la fonction $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \ln\left(x^2 + 1\right) + 3 - \ln(2)$.
Montrer que $f$ est une fonction paire.
Déterminer les limites de $f$ en $+\infty$ et en $-\infty$.
Déterminer l'expression de $f'(x)$. Étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$. Dresser le tableau des variations de $f$ en y faisant figurer la valeur exacte du minimum ainsi que les limites de $f$ en $-\infty$ et $+\infty$.
À l'aide du tableau des variations de $f$, donner les valeurs du réel $k$ pour lesquelles l'équation $f(x) = k$ admet deux solutions.
Résoudre l'équation $f(x) = 3 + \ln 2$.
Partie C
On rappelle que la fonction $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \ln\left(x^2 + 1\right) + 3 - \ln(2)$.
Conjecturer, par lecture graphique, les abscisses des éventuels points d'inflexion de la courbe $\mathcal{C}_f$.
Montrer que, pour tout nombre réel $x$, on a : $f''(x) = \dfrac{2(1 - x^2)}{(x^2 + 1)^2}$.
En déduire le plus grand intervalle sur lequel la fonction $f$ est convexe.