BAC Spé Maths 2022 — Nouvelle-Calédonie J1
Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Nouvelle-Calédonie J1 2022. Il couvre 3 thèmes : Algorithmique et programmation Python, Fonction exponentielle, Suites numériques. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
EXERCICE 2
Principaux domaines abordés : suites ; fonctions, fonction exponentielle.
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par
$$f(x) = x^3 e^x.$$
On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et on note $f'$ sa fonction dérivée.
1. On définit la suite $(u_n)$ par $u_0 = -1$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = f(u_n)$.
a. Calculer $u_1$ puis $u_2$.
On donnera les valeurs exactes, puis les valeurs approchées à $10^{-3}$.
b. On considère la fonction `fonc`, écrite en langage Python ci-dessous.
On rappelle qu'en langage Python, « `i in range(n)` » signifie que `i` varie de `0` à `n-1`.
def fonc(n):
u = -1
for i in range(n):
u = u**3 * exp(u)
return u
Déterminer, sans justifier, la valeur renvoyée par `fonc(2)` arrondie à $10^{-3}$.
2. a. Démontrer que, pour tout $x$ réel, on a $f'(x) = x^2 e^x (x+3)$.
b. Justifier que le tableau de variations de $f$ sur $\mathbb{R}$ est celui représenté ci-dessous :
c. Démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel $n$, on a :
$$-1 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 0.$$
d. En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente.
e. On note $\ell$ la limite de la suite $(u_n)$.
On rappelle que $\ell$ est solution de l'équation $f(x) = x$.
Déterminer $\ell$. (Pour cela, on admettra que l'équation $x^2 e^x - 1 = 0$ possède une seule solution dans $\mathbb{R}$ et que celle-ci est strictement supérieure à $\frac{1}{2}$).