Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Nouvelle-Calédonie J1 2022. Il couvre 3 thèmes : Loi binomiale et Bernoulli, Probabilités, Probabilités conditionnelles et Bayes. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
EXERCICE 4
Principaux domaines abordés : probabilités.
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.
Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.
Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse à une question ne rapporte ni n'enlève de point.
On considère un système de communication binaire transmettant des 0 et des 1. Chaque 0 ou 1 est appelé bit.
En raison d'interférences, il peut y avoir des erreurs de transmission : un 0 peut être reçu comme un 1 et, de même, un 1 peut être reçu comme un 0.
Pour un bit choisi au hasard dans le message, on note les évènements :
- $E_0$ : « le bit envoyé est un 0 » ;
- $E_1$ : « le bit envoyé est un 1 » ;
- $R_0$ : « le bit reçu est un 0 » ;
- $R_1$ : « le bit reçu est un 1 ».
Arbre de probabilités du système de transmission binaire
On sait que :
$$p(E_0) = 0{,}4 \quad ; \quad p_{E_0}(R_1) = 0{,}01 \quad ; \quad p_{E_1}(R_0) = 0{,}02.$$
On rappelle que la probabilité conditionnelle de $A$ sachant $B$ est notée $p_B(A)$.
On peut ainsi représenter la situation par l'arbre de probabilités ci-dessus.
1. La probabilité que le bit envoyé soit un 0 et que le bit reçu soit un 0 est égale à :
$0{,}99$
$0{,}396$
$0{,}01$
$0{,}4$
2. La probabilité $p(R_0)$ est égale à :
$0{,}99$
$0{,}02$
$0{,}408$
$0{,}931$
3. Une valeur, approchée au millième, de la probabilité $p_{R_1}(E_0)$ est égale à :
$0{,}004$
$0{,}001$
$0{,}007$
$0{,}010$
4. La probabilité de l'évènement « il y a une erreur de transmission » est égale à :
$0{,}03$
$0{,}016$
$0{,}16$
$0{,}015$
Un message de longueur huit bits est appelé un octet.
On admet que la probabilité qu'un octet soit transmis sans erreur est égale à $0{,}88$.
5. On transmet successivement 10 octets de façon indépendante.
La probabilité, à $10^{-3}$ près, qu'exactement 7 octets soient transmis sans erreur est égale à :
$0{,}915$
$0{,}109$
$0{,}976$
$0{,}085$
6. On transmet successivement 10 octets de façon indépendante.
La probabilité qu'au moins 1 octet soit transmis sans erreur est égale à :
$1 - 0{,}12^{10}$
$0{,}12^{10}$
$0{,}88^{10}$
$1 - 0{,}88^{10}$
7. Soit $N$ un entier naturel. On transmet successivement $N$ octets de façon indépendante.
Soit $N_0$ la plus grande valeur de $N$ pour laquelle la probabilité que les $N$ octets soient tous transmis sans erreur est supérieure ou égale à $0{,}1$.
On peut affirmer que :
$N_0 = 17$
$N_0 = 18$
$N_0 = 19$
$N_0 = 20$