BAC Spé Maths 2024 — Métropole J1 Septembre
Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Métropole J1 Septembre 2024. Il couvre 5 thèmes : Aires et volumes, Distances dans l'espace, Droites et plans dans l'espace…. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
On considère un cube ABCDEFGH de côté 1.
Cube ABCDEFGH avec les points I, K, L et la droite $\Delta$
Le point I est le milieu du segment $[BD]$. On définit le point L tel que $\vec{IL} = \frac{3}{4}\vec{IG}$.
On se place dans le repère orthonormé $\left(A\,;\,\vec{AB},\vec{AD},\vec{AE}\right)$.
Préciser les coordonnées des points D, B, I et G.
Aucune justification n'est attendue.
Montrer que le point L a pour coordonnées $\left(\frac{7}{8}\,;\,\frac{7}{8}\,;\,\frac{3}{4}\right)$.
Vérifier qu'une équation cartésienne du plan $(BDG)$ est $x + y - z - 1 = 0$.
On considère la droite $\Delta$ perpendiculaire au plan $(BDG)$ passant par L.
Justifier qu'une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ est :
$$\begin{cases} x = \dfrac{7}{8} + t \\ y = \dfrac{7}{8} + t \\ z = \dfrac{3}{4} - t \end{cases} \quad \text{où } t \in \mathbb{R}.$$
Montrer que les droites $\Delta$ et $(AE)$ sont sécantes au point K de coordonnées $\left(0\,;\,0\,;\,\frac{13}{8}\right)$.
Que représente le point L pour le point K ? Justifier la réponse.
Calculer la distance $KL$.
On admet que le triangle DBG est équilatéral.
Montrer que son aire est égale à $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
En déduire le volume du tétraèdre KDBG.
On rappelle que :
- le volume d'une pyramide est donné par la formule $V = \dfrac{1}{3} \times \mathcal{B} \times h$ où $\mathcal{B}$ est l'aire d'une base et $h$ la longueur de la hauteur relative à cette base ;
- un tétraèdre est une pyramide à base triangulaire.
On désigne par $a$ un réel appartenant à l'intervalle $\left]0\,;\,+\infty\right[$ et on note $K_a$ le point de coordonnées $(0\,;\,0\,;\,a)$.
Exprimer le volume $\mathcal{V}_a$ de la pyramide $ABCDK_a$ en fonction de $a$.
On note $\Delta_a$ la droite de représentation paramétrique
$$\begin{cases} x = t' \\ y = t' \\ z = -t' + a \end{cases} \quad \text{où } t' \in \mathbb{R}.$$
On appelle $L_a$ le point d'intersection de la droite $\Delta_a$ avec le plan $(BDG)$.
Montrer que les coordonnées du point $L_a$ sont $\left(\dfrac{a+1}{3}\,;\,\dfrac{a+1}{3}\,;\,\dfrac{2a-1}{3}\right)$.
Déterminer, s'il existe, un réel strictement positif $a$ tel que le tétraèdre $GDBKa$ et la pyramide $ABCDKa$ sont de même volume.