Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Polynésie J1 2022. Il couvre 4 thèmes : Aires et volumes, Droites et plans dans l'espace, Géométrie dans l'espace…. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
L'espace est rapporté un repère orthonormal où l'on considère :
- les points $A(2\,;\,-1\,;\,0)$, $B(1\,;\,0\,;\,-3)$, $C(6\,;\,6\,;\,1)$ et $E(1\,;\,2\,;\,4)$ ;
- Le plan $\mathcal{P}$ d'équation cartésienne $2x - y - z + 4 = 0$.
Démontrer que le triangle $ABC$ est rectangle en $A$.
Calculer le produit scalaire $\vec{BA} \cdot \vec{BC}$ puis les longueurs $BA$ et $BC$.
En déduire la mesure en degrés de l'angle $\widehat{ABC}$ arrondie au degré.
Démontrer que le plan $\mathcal{P}$ est parallèle au plan $ABC$.
En déduire une équation cartésienne du plan $ABC$.
Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\mathcal{D}$ orthogonale au plan $ABC$ et passant par le point $E$.
Démontrer que le projeté orthogonal $H$ du point $E$ sur le plan $ABC$ a pour coordonnées $\left(4\,;\,\dfrac{1}{2}\,;\,\dfrac{5}{2}\right)$.
On rappelle que le volume d'une pyramide est donné par $V = \dfrac{1}{3}\mathcal{B}h$ où $\mathcal{B}$ désigne l'aire d'une base et $h$ la hauteur de la pyramide associée à cette base.
Calculer l'aire du triangle $ABC$ puis démontrer que le volume de la pyramide $ABCE$ est égal à $16{,}5$ unités de volume.