Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Asie J1 2021. Il couvre 3 thèmes : Algorithmique et programmation Python, Limites de fonctions, Suites numériques. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
En 2020, une influenceuse sur les réseaux sociaux compte 1 000 abonnés à son profil. On modélise le nombre d'abonnés ainsi : chaque année, elle perd 10 % de ses abonnés auxquels s'ajoutent 250 nouveaux abonnés.
Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ le nombre d'abonnés à son profil en l'année $(2020+n)$, suivant cette modélisation. Ainsi $u_0 = 1000$.
Calculer $u_1$.
Justifier que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = 0{,}9u_n + 250$.
La fonction Python nommée « suite » est définie ci-dessous. Dans le contexte de l'exercice, interpréter la valeur renvoyée par suite(10).
def suite( n) :
u = 1000
for i in range(n) :
u = 0.9*u + 250
return u
Montrer, à l'aide d'un raisonnement par récurrence, que pour tout entier naturel $n$, $u_n \leqslant 2500$.
Démontrer que la suite $(u_n)$ est croissante.
Déduire des questions précédentes que la suite $(u_n)$ est convergente.
Soit $(v_n)$ la suite définie par $v_n = u_n - 2500$ pour tout entier naturel $n$.
Montrer que la suite $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $0{,}9$ et de terme initial $v_0 = -1500$.
Pour tout entier naturel $n$, exprimer $v_n$ en fonction de $n$ et montrer que :
$$u_n = -1500 \times 0{,}9^n + 2500.$$
Déterminer la limite de la suite $(u_n)$ et interpréter dans le contexte de l'exercice.
Écrire un programme qui permet de déterminer en quelle année le nombre d'abonnés dépassera 2 200.
Déterminer cette année.