BAC Spé Maths 2021 — Asie J1
Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Asie J1 2021. Il couvre 4 thèmes : Distances dans l'espace, Droites et plans dans l'espace, Géométrie dans l'espace…. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
On considère un cube $ABCDEFGH$ d'arête 8 cm et de centre $\Omega$.
Les points P, Q et R sont définis par $\vec{AP} = \frac{3}{4}\vec{AB}$, $\vec{AQ} = \frac{3}{4}\vec{AE}$ et $\vec{FR} = \frac{1}{4}\vec{FG}$.
On se place dans le repère orthonormé $\left(A\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k}\right)$ avec : $\vec{\imath} = \frac{1}{8}\vec{AB}$, $\vec{\jmath} = \frac{1}{8}\vec{AD}$ et $\vec{k} = \frac{1}{8}\vec{AE}$.
Cube ABCDEFGH avec les points P, Q, R et le centre Ω
Partie I
Dans ce repère, on admet que les coordonnées du point R sont $(8\,;\,2\,;\,8)$. Donner les coordonnées des points P et Q.
Montrer que le vecteur $\vec{n}\,(1\,;\,-5\,;\,1)$ est un vecteur normal au plan $(PQR)$.
Justifier qu'une équation cartésienne du plan $(PQR)$ est $x - 5y + z - 6 = 0$.
Partie II
On note L le projeté orthogonal du point $\Omega$ sur le plan $(PQR)$.
Justifier que les coordonnées du point $\Omega$ sont $(4\,;\,4\,;\,4)$.
Donner une représentation paramétrique de la droite $d$ perpendiculaire au plan $(PQR)$ et passant par $\Omega$.
Montrer que les coordonnées du point L sont $\left(\frac{14}{3}\,;\,\frac{2}{3}\,;\,\frac{14}{3}\right)$.
Calculer la distance du point $\Omega$ au plan $(PQR)$.