Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Amérique du Nord J1 2023. Il porte sur les thèmes Dérivation et étude de fonctions et Fonction exponentielle. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :
$$f(x) = e^{3x} - (2x+1)e^{x}$$
Le but de cet exercice est d'étudier la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$.
Partie A — Étude d'une fonction auxiliaire
On définit la fonction $g$ sur $\mathbb{R}$ par :
$$g(x) = 3e^{2x} - 2x - 3$$
Déterminer la limite de la fonction $g$ en $-\infty$.
Déterminer la limite de la fonction $g$ en $+\infty$.
On admet que la fonction $g$ est dérivable sur $\mathbb{R}$, et on note $g'$ sa fonction dérivée. Démontrer que pour tout nombre réel $x$, on a $g'(x) = 6e^{2x} - 2$.
Étudier le signe de la fonction dérivée $g'$ sur $\mathbb{R}$.
En déduire le tableau de variations de la fonction $g$ sur $\mathbb{R}$. Vérifier que la fonction $g$ admet un minimum égal à $\ln(3) - 2$.
Montrer que $x = 0$ est solution de l'équation $g(x) = 0$.
Montrer que l'équation $g(x) = 0$ admet une deuxième solution, non nulle, notée $\alpha$, dont on donnera un encadrement d'amplitude $10^{-1}$.
Déduire des questions précédentes le signe de la fonction $g$ sur $\mathbb{R}$.
Partie B — Étude de la fonction $f$
La fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$, et on note $f'$ sa fonction dérivée.
Démontrer que pour tout nombre réel $x$, on a $f'(x) = e^{x}\,g(x)$, où $g$ est la fonction définie dans la partie A.
En déduire alors le signe de la fonction dérivée $f'$ puis les variations de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$.
Pourquoi la fonction $f$ n'est-elle pas convexe sur $\mathbb{R}$ ? Expliquer.