Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Amérique du Nord J1 2023. Il couvre 4 thèmes : Droites et plans dans l'espace, Géométrie dans l'espace, Repérage dans l'espace…. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
Cet exercice est un questionnaire à choix multiple.
Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.
Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse à une question ne rapporte ni n'enlève de point.
Les cinq questions sont indépendantes.
L'espace est muni d'un repère orthonormé $\left(O\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k}\right)$.
On considère les points $A(-1\,;\,2\,;\,5)$, $B(3\,;\,6\,;\,3)$, $C(3\,;\,0\,;\,9)$ et $D(8\,;\,-3\,;\,-8)$.
On admet que les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés.
$ABC$ est un triangle :
isocèle rectangle en $A$
isocèle rectangle en $B$
isocèle rectangle en $C$
équilatéral
Une équation cartésienne du plan $(BCD)$ est :
$2x + y + z - 15 = 0$
$9x - 5y + 3 = 0$
$4x + y + z - 21 = 0$
$11x + 5z - 73 = 0$
On admet que le plan $(ABC)$ a pour équation cartésienne $x - 2y - 2z + 15 = 0$.
On appelle $H$ le projeté orthogonal du point $D$ sur le plan $(ABC)$.
On peut affirmer que :
$H(-2\,;\,17\,;\,12)$
$H(3\,;\,7\,;\,2)$
$H(3\,;\,2\,;\,7)$
$H(-15\,;\,1\,;\,-1)$
Soit la droite $\Delta$ de représentation paramétrique $\begin{cases} x = 5 + t \\ y = 3 - t \\ z = -1 + 3t \end{cases}$, avec $t$ réel.
Les droites $(BC)$ et $\Delta$ sont :
confondues
strictement parallèles
sécantes
non coplanaires
On considère le plan $\mathscr{P}$ d'équation cartésienne $2x - y + 2z - 6 = 0$.
On admet que le plan $(ABC)$ a pour équation cartésienne $x - 2y - 2z + 15 = 0$.
On peut affirmer que :
les plans $\mathscr{P}$ et $(ABC)$ sont strictement parallèles
les plans $\mathscr{P}$ et $(ABC)$ sont sécants et leur intersection est la droite $(AB)$
les plans $\mathscr{P}$ et $(ABC)$ sont sécants et leur intersection est la droite $(AC)$
les plans $\mathscr{P}$ et $(ABC)$ sont sécants et leur intersection est la droite $(BC)$