Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Amérique du Nord J1 2023. Il couvre 4 thèmes : Algorithmique et programmation Python, Géométrie plane, Limites de fonctions…. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 5$ et pour tout entier naturel $n$,
$$u_{n+1} = \frac{1}{2}\left(u_n + \frac{11}{u_n}\right)$$
On admet que la suite $(u_n)$ est bien définie.
Partie A — Étude de la suite $(u_n)$
Donner $u_1$ et $u_2$ sous forme de fractions irréductibles.
On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $\left]0\,;\,+\infty\right[$ par :
$$f(x) = \frac{1}{2}\left(x + \frac{11}{x}\right)$$
Démontrer que la fonction $f$ est croissante sur l'intervalle $\left[\sqrt{11}\,;\,+\infty\right[$.
Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n \geqslant u_{n+1} \geqslant \sqrt{11}$.
En déduire que la suite $(u_n)$ converge vers une limite réelle. On note $a$ cette limite.
Après avoir déterminé et résolu une équation dont $a$ est solution, préciser la valeur exacte de $a$.
Partie B — Application géométrique
Pour tout entier naturel $n$, on considère un rectangle $R_n$ d'aire $11$ dont la largeur est notée $\ell_n$ et longueur $L_n$.
La suite $(L_n)$ est définie par $L_0 = 5$ et, pour tout entier naturel $n$,
$$L_{n+1} = \frac{L_n + \ell_n}{2}$$
Expliquer pourquoi $\ell_0 = 2{,}2$.
Établir que pour tout entier naturel $n$,
$$\ell_n = \frac{11}{L_n}.$$
Vérifier que la suite $(L_n)$ correspond à la suite $(u_n)$ de la partie A.
Montrer que pour tout entier naturel $n$, on a $\ell_n \leqslant \sqrt{11} \leqslant L_n$.
On admet que les suites $(L_n)$ et $(\ell_n)$ convergent toutes les deux vers $\sqrt{11}$. Interpréter géométriquement ce résultat dans le contexte de la partie B.
Voici un script, écrit en langage Python, relatif aux suites étudiées dans cette partie :
def heron(n):
L = 5
l = 2.2
for i in range(n):
L = (L + l) / 2
l = 11 / L
return round(l, 6), round(L, 6)
On rappelle que la fonction Python `round(x, k)` renvoie une version arrondie du nombre `x` avec `k` décimales.
Si l'utilisateur tape `heron(3)` dans une console d'exécution Python, qu'obtient-il comme valeurs de sortie pour $\ell$ et $L$ ?
Donner une interprétation de ces deux valeurs.