BAC Spé Maths 2023 — Amérique du Nord J2
Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Amérique du Nord J2 2023. Il couvre 3 thèmes : Dérivation et étude de fonctions, Fonction exponentielle, Limites de fonctions. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
Partie A
Le plan est muni d'un repère orthogonal.
On considère une fonction $f$ définie et dérivable sur $\mathbb{R}$. On note $f'$ sa fonction dérivée.
On donne ci-dessous la courbe représentative de la fonction dérivée $f'$.
Courbe représentative de la fonction dérivée $f'$
Dans cette partie, les résultats seront obtenus par lecture graphique de la courbe représentative de la fonction dérivée $f'$. Aucune justification n'est demandée.
Donner le sens de variation de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$. On utilisera des valeurs approchées si besoin.
Donner les intervalles sur lesquels la fonction $f$ semble être convexe.
Partie B
On admet que la fonction $f$ de la partie A est définie sur $\mathbb{R}$ par
$$f(x) = \left(x^2 - 5x + 6\right)e^x.$$
On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère.
Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.
Déterminer la limite de la fonction $f$ en $-\infty$.
Montrer que, pour tout réel $x$, on a $f'(x) = \left(x^2 - 3x + 1\right)e^x$.
En déduire le sens de variation de la fonction $f$.
Déterminer l'équation réduite de la tangente $(T)$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$.
On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$. On note $f''$ la fonction dérivée seconde de la fonction $f$. On admet que, pour tout réel $x$, on a $f''(x) = (x+1)(x-2)e^x$.
Étudier la convexité de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$.
Montrer que, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $\left[-1\,;\,2\right]$, on a $f(x) \leqslant x + 6$.