Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Amérique du Nord J2 2023. Il porte sur les thèmes Python et Suites numériques. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
On étudie un groupe de $3\,000$ sportifs qui pratiquent soit l'athlétisme dans le club A, soit le basketball dans le club B.
En 2023, le club A compte $1\,700$ membres et le club B en compte $1\,300$.
On décide de modéliser le nombre de membres du club A et du club B respectivement par deux suites $(a_n)$ et $(b_n)$, où $n$ désigne le rang de l'année à partir de 2023.
L'année 2023 correspond au rang $0$. On a alors $a_0 = 1700$ et $b_0 = 1300$.
Pour notre étude, on fait les hypothèses suivantes :
- durant l'étude, aucun sportif ne quitte le groupe ;
- chaque année, $15\%$ des sportifs du club A quittent ce club et adhèrent au club B ;
- chaque année, $10\%$ des sportifs du club B quittent ce club et adhèrent au club A.
Calculer les nombres de membres de chaque club en 2024.
Pour tout entier naturel $n$, déterminer une relation liant $a_n$ et $b_n$.
Montrer que la suite $(a_n)$ vérifie la relation suivante pour tout entier naturel $n$ :
$$a_{n+1} = 0{,}75\,a_n + 300.$$
Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, on a :
$$1200 \leqslant a_{n+1} \leqslant a_n \leqslant 1700.$$
En déduire que la suite $(a_n)$ converge.
Soit $(v_n)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n = a_n - 1200$.
Démontrer que la suite $(v_n)$ est géométrique.
Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
En déduire que pour tout entier naturel $n$, $a_n = 500 \times 0{,}75^n + 1200$.
Déterminer la limite de la suite $(a_n)$.
Interpréter le résultat de la question précédente dans le contexte de l'exercice.
Recopier et compléter le programme Python ci-dessous afin qu'il renvoie la plus petite valeur de $n$ à partir de laquelle le nombre de membres du club A est strictement inférieur à $1\,280$.
def seuil() :
n = 0
A = 1700
while ... :
n = n + 1
A = ...
return ...
Déterminer la valeur renvoyée lorsqu'on appelle la fonction seuil.