Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Amérique du Nord J2 2023. Il couvre 5 thèmes : Aires et volumes, Distances dans l'espace, Droites et plans dans l'espace…. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
Dans l'espace muni d'un repère orthonormé d'unité $1\,\mathrm{cm}$, on considère les points
$$D(3\,;\,1\,;\,5),\quad E(3\,;\,-2\,;\,-1),\quad F(-1\,;\,2\,;\,1),\quad G(3\,;\,2\,;\,-3).$$
Déterminer les coordonnées des vecteurs $\vec{EF}$ et $\vec{FG}$.
Justifier que les points $E$, $F$ et $G$ ne sont pas alignés.
Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(FG)$.
On appelle $H$ le point de coordonnées $(2\,;\,2\,;\,-2)$. Vérifier que $H$ est le projeté orthogonal de $E$ sur la droite $(FG)$.
Montrer que l'aire du triangle $EFG$ est égale à $12\,\mathrm{cm}^2$.
Démontrer que le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan $(EFG)$.
Déterminer une équation cartésienne du plan $(EFG)$.
Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(d)$ passant par le point $D$ et orthogonale au plan $(EFG)$.
On note $K$ le projeté orthogonal du point $D$ sur le plan $(EFG)$. À l'aide des questions précédentes, calculer les coordonnées du point $K$.
Vérifier que la distance $DK$ est égale à $5\,\mathrm{cm}$.
En déduire le volume du tétraèdre $DEFG$.