Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Amérique du Sud J1 2023. Il couvre 4 thèmes : Algorithmique et programmation Python, Dérivation et étude de fonctions, Fonction logarithme népérien…. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
Exercice 1 — Partie A
On considère la fonction $f$ définie sur l'ensemble $\left]0\,;\,+\infty\right[$ par
$$f(x) = 1 + x^2 - 2x^2\ln(x).$$
On admet que $f$ est dérivable sur l'intervalle et on note $f'$ sa fonction dérivée.
Justifier que $$\lim_{x \to 0} f(x) = 1$$ et, en remarquant que $f(x) = 1 + x^2\left[1 - 2\ln(x)\right]$, justifier que $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty.$$
Montrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle $\left]0\,;\,+\infty\right[$, $f'(x) = -4x\ln(x)$.
Étudier le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle $\left]0\,;\,+\infty\right[$, puis dresser le tableau de variations de la fonction sur l'intervalle $\left]0\,;\,+\infty\right[$.
Démontrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ dans l'intervalle $\left[1\,;\,+\infty\right[$ et que $\alpha \in \left[1\,;\,e\right]$.
On admet dans la suite de l'exercice, que l'équation $f(x) = 0$ n'admet pas de solution sur l'intervalle $\left]0\,;\,1\right]$.
On donne la fonction ci-dessous écrite en Python. L'instruction `from lycee import *` permet d'accéder à la fonction ln.
from lycee import *
def f(x) :
return 1 + x**2 - 2*x**2*ln(x)
def dichotomie(p):
a = 1
b = 2.7
while b - a > 10**(-p) :
if f(a)*f((a+b)/2) < 0 :
b = (a+b)/2
else :
a = (a+b)/2
return (a,b)
Il écrit dans la console d'exécution :
>>> dichotomie(1)
Parmi les quatre propositions ci-dessous, recopier celle affichée par l'instruction précédente. Justifier votre réponse (on pourra procéder par élimination).
- Proposition A : `(1.75, 1.9031250000000002)`
- Proposition B : `(1.85, 1.9031250000000002)`
- Proposition C : `(2.75, 2.9031250000000002)`
- Proposition D : `(2.85, 2.9031250000000002)`
`(1.75, 1.9031250000000002)`
`(1.85, 1.9031250000000002)`
`(2.75, 2.9031250000000002)`
`(2.85, 2.9031250000000002)`
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Partie B
On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $\left]0\,;\,+\infty\right[$, par
$$g(x) = \frac{\ln(x)}{1 + x^2}.$$
On admet que $g$ est dérivable sur l'intervalle $\left]0\,;\,+\infty\right[$ et on note $g'$ sa fonction dérivée.
On note $\mathcal{C}_g$ la courbe représentative de la fonction $g$ dans le plan rapporté à un repère $\left(O\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath}\right)$.
Démontrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle $\left]0\,;\,+\infty\right[$,
$$g'(x) = \frac{f(x)}{x\left(1 + x^2\right)^2}.$$
Démontrer que la fonction $g$ admet un maximum en $x = \alpha$.
On admet que $g(\alpha) = \dfrac{1}{2\alpha^2}$.
On note $T_1$ la tangente à $\mathcal{C}_g$ au point d'abscisse $1$ et on note $T_\alpha$ la tangente à $\mathcal{C}_g$ au point d'abscisse $\alpha$.
Déterminer, en fonction de $\alpha$, les coordonnées du point d'intersection des droites $T_1$ et $T_\alpha$.