Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Amérique du Sud J1 2023. Il couvre 4 thèmes : Loi binomiale et Bernoulli, Probabilités, Probabilités conditionnelles et Bayes…. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
Exercice 2
1. Entre 1998 et 2020, en France 18 221 965 accouchements ont été recensés, parmi lesquels 293 898 ont donné naissance à des jumeaux et 4 921 ont donné naissance à au moins trois enfants.
Avec une précision de 0,1 % calculer parmi tous les accouchements recensés, le pourcentage d'accouchements donnant naissance à des jumeaux sur la période 1998-2020.
Vérifier que le pourcentage d'accouchements qui ont donné naissance à au moins trois enfants est inférieur à 0,1 %.
On considère alors que ce pourcentage est négligeable.
On appelle accouchement ordinaire, un accouchement donnant naissance à un seul enfant.
On appelle accouchement double, un accouchement donnant naissance à exactement deux enfants.
On considère dans la suite de l'exercice qu'un accouchement est soit ordinaire, soit double.
La probabilité d'un accouchement ordinaire est égale à $0{,}984$ et celle d'un accouchement double est alors égale à $0{,}016$.
Les probabilités calculées dans la suite seront arrondies au millième.
2. On admet qu'un jour donné dans une maternité, on réalise $n$ accouchements. On considère que ces $n$ accouchements sont indépendants les uns des autres. On note $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre d'accouchements doubles pratiqués ce jour.
Dans le cas où $n = 20$, préciser la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire $X$ et calculer la probabilité qu'on réalise exactement un accouchement double.
Par la méthode de votre choix que vous expliciterez, déterminer la plus petite valeur de $n$ telle que $P(X \geqslant 1) \geqslant 0{,}99$.
Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
3. Dans cette maternité, parmi les naissances doubles, on estime qu'il y a 30 % de jumeaux monozygotes (appelés « vrais jumeaux » qui sont obligatoirement de même sexe : deux garçons ou deux filles) et donc 70 % de jumeaux dizygotes (appelés « faux jumeaux », qui peuvent être de sexes différents : deux garçons, deux filles ou un garçon et une fille).
Dans le cas de naissances doubles, on admet que, comme pour les naissances ordinaires, la probabilité d'être une fille à la naissance est égale à $0{,}49$ et que celle d'être un garçon à la naissance est égale à $0{,}51$.
Dans le cas d'une naissance double de jumeaux dizygotes, on admet aussi que le sexe du second nouveau-né des jumeaux est indépendant du sexe du premier nouveau-né.
On choisit au hasard un accouchement double réalisé dans cette maternité et on considère les évènements suivants :
- $M$ : « les jumeaux sont monozygotes » ;
- $F_1$ : « le premier nouveau-né est une fille » ;
- $F_2$ : « le second nouveau-né est une fille ».
On notera $P(A)$ la probabilité de l'évènement $A$ et $\overline{A}$ l'évènement contraire de $A$.
[figure:fig1]
Recopier puis compléter l'arbre pondéré ci-dessus.
Montrer que la probabilité que les deux nouveaux-nés soient des filles est $0{,}31507$.
Les deux nouveaux-nés sont des jumelles. Calculer la probabilité qu'elles soient monozygotes.