Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Centres étrangers Groupe 1 J2 2023. Il couvre 3 thèmes : Fonction logarithme népérien, Limites de fonctions, Suites numériques. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
EXERCICE 2
On considère la fonction $f$ définie sur $\left]-1{,}5\,;\,+\infty\right[$ par
$$f(x) = \ln(2x+3) - 1.$$
Le but de cet exercice est d'étudier la convergence de la suite $(u_n)$ définie par :
$$u_0 = 0 \quad \text{et} \quad u_{n+1} = f(u_n) \text{ pour tout entier naturel } n.$$
Partie A : Étude d'une fonction auxiliaire
On considère la fonction $g$ définie sur $\left]-1{,}5\,;\,+\infty\right[$ par $g(x) = f(x) - x$.
Déterminer la limite de la fonction $g$ en $-1{,}5$. On admet que la limite de la fonction $g$ en $+\infty$ est $-\infty$.
Étudier les variations de la fonction $g$ sur $\left]-1{,}5\,;\,+\infty\right[$.
Démontrer que, dans l'intervalle $\left]-0{,}5\,;\,+\infty\right[$, l'équation $g(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$.
Déterminer un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$.
Partie B : Étude de la suite $(u_n)$
On admet que la fonction $f$ est strictement croissante sur $\left]-1{,}5\,;\,+\infty\right[$.
Soit $x$ un nombre réel. Montrer que si $x \in \left[-1\,;\,\alpha\right]$ alors $f(x) \in \left[-1\,;\,\alpha\right]$.
Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ :
$$-1 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant \alpha.$$
En déduire que la suite $(u_n)$ converge.