BAC Spé Maths 2023 — Centres étrangers Groupe 1 J2
Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Centres étrangers Groupe 1 J2 2023. Il couvre 4 thèmes : Droites et plans dans l'espace, Géométrie dans l'espace, Produit scalaire…. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
EXERCICE 3
La figure ci-dessous correspond à la maquette d'un projet architectural. Il s'agit d'une maison de forme cubique (ABCDEFGH) accolée à un garage de forme cubique (BIJKLMNO) où L est le milieu du segment [BF] et K est le milieu du segment [BC]. Le garage est surmonté d'un toit de forme pyramidale (LMNOP) de base carrée LMNO et de sommet P positionné sur la façade de la maison.
Maquette architecturale : maison cubique ABCDEFGH, garage cubique BIJKLMNO et toit pyramidal LMNOP
On munit l'espace du repère orthonormé $\left(A\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k}\right)$, avec $\vec{\imath} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}$, $\vec{\jmath} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AD}$ et $\vec{k} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AE}$.
Par lecture graphique, donner les coordonnées des points H, M et N.
Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(HM)$.
L'architecte place le point P à l'intersection de la droite $(HM)$ et du plan $(BCF)$. Montrer que les coordonnées de P sont $\left(2\,;\,\dfrac{2}{3}\,;\,\dfrac{4}{3}\right)$.
Calculer le produit scalaire $\overrightarrow{PM} \cdot \overrightarrow{PN}$.
Calculer la distance PM. On admet que la distance PN est égale à $\dfrac{\sqrt{11}}{3}$.
Pour satisfaire à des contraintes techniques, le toit ne peut être construit que si l'angle $\widehat{MPN}$ ne dépasse pas $55°$. Le toit pourra-t-il être construit ?
Justifier que les droites $(HM)$ et $(EN)$ sont sécantes. Quel est leur point d'intersection ?