Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session La Réunion J1 2023. Il couvre 4 thèmes : Calcul intégral et primitives, Dérivation et étude de fonctions, Fonction logarithme népérien…. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
On considère la fonction $f$ définie sur $\left]0\,;\,+\infty\right[$ par :
$$f(x) = 3x + 1 - 2x\ln(x).$$
On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur $\left]0\,;\,+\infty\right[$.
On note $f'$ sa dérivée et $f''$ sa dérivée seconde.
On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère du plan.
Déterminer la limite de la fonction $f$ en $0$ et en $+\infty$.
Démontrer que pour tout réel $x$ strictement positif : $f'(x) = 1 - 2\ln(x)$.
Étudier le signe de $f'$ et dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $\left]0\,;\,+\infty\right[$. On fera figurer dans ce tableau les limites ainsi que la valeur exacte de l'extremum.
Démontrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution sur $\left]0\,;\,+\infty\right[$. On notera $\alpha$ cette solution.
En déduire le signe de la fonction $f$ sur $\left]0\,;\,+\infty\right[$.
On considère une primitive quelconque de la fonction $f$ sur l'intervalle $\left]0\,;\,+\infty\right[$. On la note $F$. Peut-on affirmer que la fonction $F$ est strictement décroissante sur l'intervalle $\left[e^{\frac{1}{2}}\,;\,+\infty\right[$ ? Justifier.
Étudier la convexité de la fonction $f$ sur $\left]0\,;\,+\infty\right[$. Quelle est la position de la courbe $\mathcal{C}_f$ par rapport à ses tangentes ?
Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $1$.
Déduire des questions 5.a et 5.b que pour tout réel $x$ strictement positif :
$$\ln(x) \geqslant 1 - \frac{1}{x}.$$