Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session La Réunion J1 2023. Il couvre 3 thèmes : Loi binomiale et Bernoulli, Probabilités, Probabilités conditionnelles et Bayes. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
Une entreprise appelle des personnes par téléphone pour leur vendre un produit.
— L'entreprise appelle chaque personne une première fois :
- la probabilité que la personne ne décroche pas est égale à $0{,}6$ ;
- si la personne décroche, la probabilité qu'elle achète le produit est égale à $0{,}3$.
— Si la personne n'a pas décroché au premier appel, on procède à un second appel :
- la probabilité que la personne ne décroche pas est égale à $0{,}3$ ;
- si la personne décroche, la probabilité qu'elle achète le produit est égale à $0{,}2$.
— Si une personne ne décroche pas au second appel, on cesse de la contacter.
On choisit une personne au hasard et on considère les évènements suivants :
$D_1$ : « la personne décroche au premier appel » ;
$D_2$ : « la personne décroche au deuxième appel » ;
$A$ : « la personne achète le produit ».
Les deux parties peuvent être traitées de manière indépendante
Partie A
Arbre pondéré à compléter
Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-contre.
En utilisant l'arbre pondéré, montrer que la probabilité de l'évènement $A$ est $P(A) = 0{,}204$.
On sait que la personne a acheté le produit. Quelle est la probabilité qu'elle ait décroché au premier appel ?
Partie B
On rappelle que, pour une personne donnée, la probabilité qu'elle achète le produit est égale à $0{,}204$.
On considère un échantillon aléatoire de $30$ personnes. On note $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de personnes de l'échantillon qui achètent le produit.
On admet que $X$ suit une loi binomiale. Donner, sans justifier, ses paramètres.
Déterminer la probabilité qu'exactement $6$ personnes de l'échantillon achètent le produit. Arrondir le résultat au millième.
Calculer l'espérance de la variable aléatoire $X$. Interpréter le résultat.
Soit $n$ un entier naturel non nul. On considère désormais un échantillon de $n$ personnes. Déterminer la plus petite valeur de $n$ telle que la probabilité qu'au moins l'une des personnes de l'échantillon achète le produit soit supérieure ou égale à $0{,}99$.