Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session La Réunion J2 2023. Il couvre 4 thèmes : Aires et volumes, Droites et plans dans l'espace, Géométrie dans l'espace…. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
On se place dans l'espace rapporté à un repère orthonormé $\left(O\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k}\right)$.
On considère le point $A(1\,;\,1\,;\,0)$ et le vecteur $\vec{u}\begin{pmatrix}0\\2\\-1\end{pmatrix}$.
On considère le plan $\mathcal{P}$ d'équation : $x + 4y + 2z + 1 = 0$.
On note $(d)$ la droite passant par $A$ et dirigée par le vecteur $\vec{u}$. Déterminer une représentation paramétrique de $(d)$.
Justifier que la droite $(d)$ et le plan $\mathcal{P}$ sont sécants en un point $B$ dont les coordonnées sont $(1\,;\,-1\,;\,1)$.
On considère le point $C(1\,;\,-1\,;\,-1)$.
Vérifier que les points $A$, $B$ et $C$ définissent bien un plan.
Montrer que le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan $(ABC)$.
Déterminer une équation cartésienne du plan $(ABC)$.
Justifier que le triangle $ABC$ est isocèle en $A$.
Soit $H$ le milieu du segment $[BC]$. Calculer la longueur $AH$ puis l'aire du triangle $ABC$.
Soit $D$ le point de coordonnées $(0\,;\,-1\,;\,1)$.
Montrer que la droite $(BD)$ est une hauteur de la pyramide $ABCD$.
Déduire des questions précédentes le volume de la pyramide $ABCD$.
On rappelle que le volume $V$ d'une pyramide est donné par :
$$V = \frac{1}{3}\mathcal{B} \times h,$$
où $\mathcal{B}$ est l'aire d'une base et $h$ la hauteur correspondante.